Il 08 Feb 2005, 10:01, Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com> ha scritto:
> Ciao,
>
> ... non dirmi che non ti aspettavi che intervenissi sui tuo post :-)
> Ho alcune osservazioni/domanda da fare.
Scusate se mi intrometto. Pero' ho inviato delle richieste
di spiegazioni, per il post precedente I puntata ma non sono
ancora sul ng.
> Elio Fabri wrote:
>
> > Per il sistema complessivo dovrei considerare il prodotto tensoriale H
di
> > tutti questi H_i, che non e' separabile.
> > Una base sarebbe data dai prodotti tensoriali degli autovettori delle
> > E_i; quindi la base viene descritta dalle successioni bilatere di 0 e
> > 1. L'insieme di queste successioni ha la cardinalita' del continuo,
> > come ci si doveva aspettare visto che H non e' separabile.
>
> Ho capito la sostanza formalmente ma ho ben capito i dettagli.
> 1) Che problema ci sarebbe se lo spazio del sistema non fosse separabile
> Se fossimo con un numero finito di gradi di liberta', OK salterebbe il
> teorema di Stone-von Neumann sull'unicita' della rappresentazione delle
> CAR. Ma ora siamo gia' con una quantita' infinita di gradi di liberta'
> dove sappiamo che il teorema suddetto non funziona in ogni caso, a che
> cosa serve allora la richiesta di separabilita'?
Io non mi sento in grado di intervenire sulla sostanza della tua domanda,
tuttavia quello che ho inteso e' che Fabri si ponesse l'obiettivo di
costruire
uno spazio di Hilbert con base numerabile. Questo e' auspicabile perche'
in uno spazio di Hilbert con base numerabile gli osservabili compatti
sono diagonalizzabili con base numerabile completa di autovettori
ed il teorema spettrale in tal caso e' molto semplice. In quanto gli
osservabili
compatti sono un caso particolare di osservabile simmetrico e limitato.
Il passaggio da operatori a supporto finito dimensionale ad operatori
a supporto infinito dimensionale e' utile per applicare la teoria delle
distribuzioni ed avere una intuizione geometrica dello spazio. Non soltanto
la si puo' ottenere con il solo costo aggiuntivo di approssimare tutti gli
stati
del sistema a partire da stati limitati in energia.
> 2) Poi non ho proprio capito cosa sia un prodotto tensoriale
> di infiniti spazi di Hilbert, in particolare come dare ad esso una
struttura
> di spazio di Hilbert.
La seconda parte di questa domanda era il tema delle
perplessita' che avanzavo nella mia e-mail di qualche giorno
fa. Pero' in primo luogo
il prodotto tensoriale Fabri lo costruisce sugli spazi
vettoriali, allora come struttura vettoriale mi sembra che
abbia sempre significato. Il prodotto vettoriale ha anche una topologia che
e' quella iperfine, o cartesiana. Si puo' lavorare direttamente con questa
topologia, ma si richiede la strumentazione della paracompattezza:
quella fornita dalle partizioni dell'unita' che e' relativamente recente.
Stone e Neumann non ne disponevano. Quindi rimanendo
sul solco tradizionale la via di passare per la costruzione di uno spazio
di Hilbert si impone quasi naturalmente. Infatti: occorre una topologia piu'
forte di quella iperfine che e' la piu' debole possibile, la scelta di
estendere
la topologia euclidea e la struttura hilbertiana dei prodotti finiti e'
percorribile
in modo abbastanza naturale. Data una struttura hilbertiana con topologia
separabile, la numerabilita' della base risulta un tool particolarmente
vantaggioso,
la teoria spettrale per operatori compatti estende naturalmente le nozioni
euclidee in dimensione finita, e d'altra parte la nozione di "funzione
generalizzata"
suggerisce la possibilita' di intendere come "operatori generalizzati" gli
operatori limitati e non limitati. Ai primi si estende il teorema spettrale
nella
sua forma piu' semplice, ai secondi il teorema spettrale nella forma piu'
sofisticata
delle misure a valori di proiezione. Tornando al concreto, a questo punto
mi ero incartato non poco per via della scelta di rappresentare i vettori
con sequenze bilatere che mi hanno fatto pensare allo spazio delle
sequenze, piuttosto che allo spazio di Fock.
> Passo all'altro post.
>
>
> > Ora bisognerebbe definire l'algebra A delle osservabili per l'intero
> > sistema. Come primo passo, si puo' pensare all'unione di tutte le
> > algebre locali; chiamiamola A_{loc}.
> > Questa pero' non e' soddisfacente dal punto di vista topologico,
> > perche' non e' chiusa nella topologia indotta dalla norma delle A_F.
> > Ma di nuovo, nessun problema: basta prenderne la chiusura: la
> > chiamero' semplicemente A.
> >
>
> Credo che tu intenda "il completamento" piu' che "la chiusura"...
Questa tua obiezione mi fa dubitare che possa
verificarsi che un'immersione continua del
completamento di uno spazio
normato possa non risultare chiusa.
Pero' se vale il teorema del grafico chiuso
e se vale il teorema che un'applicazione lineare
fra due spazi normati e' continua se e solo se
limitata, allora la chiusura e' unica a meno di
un omeomorfismo.
> > A ha tutte le proprieta' che si possono desiderare: e' un'algebra di
> > Banach per costruzione, e' anzi una C^*-algebra. Ma per ora almeno non
> > faremo uso di questa proprieta' e quindi non mi preoccupo di darne
> > una definizione.
>
> In realta', anche se non capisco del tutto dove vuoi andare finire
> ma credo che sara' chiaro tra poco, e' possibile che basti una struttura
> di *-algebra (anche se bisogna vedere in dettaglio)
>
> >
> > Mi limito solo a osservare che per costruzione A consiste di operatori
> > definiti sullo spazio di Hilbert H' (quello separabile) e per di piu'
> > di operatori _limitati.
> > Ci si puo' chiedere se li contiene tutti: la risposta e' _no_, ma non
> > e' banale arrivarci...
> > Allora ci si puo' chiedere perche' limitarsi ad A, e non ammettere
> > come algebra delle osservabili semplicemente quella di *tutti* gli
> > operatori limitati su H'.
> >
> > Per la risposta dovrai aspettare la prossima puntata...
> >
> > Intanto un'osservazione: il fatto che A contiene solo operatori
> > limitati puo' apparire un'eccessiva restrizione, visto che cosi' si
> > esclude addirittura l'hamiltoniana E.
> > Ma in realta' non c'e' da preoccuparsene, perche' se in A non ci sta
> > E, ci stanno pero' tutti gli operatori unitari T(t)=exp(iEt) per ogni
> > t reale, ossia le traslazioni temporali.
> > Il che basta, da un lato perche' le traslazioni temporali determinano
> > l'evoluzione nel tempo del sistema, ma anche da un punto di vista
> > matematico, perche' il teorema di Stone ci dice che la conoscenza dei
> > T(t) determina H.
> >
>
> Questo e' un punto molto delicato e dipende dal livello in cui ti poni.
> Prima ho intravisto una C*-algebra. Uno potrebbe mettersi (e credevo
> che tu stessi per farlo) ad un livello del tutto astratto e dire che
> le osservabili sono elementi di una C*-algebra astratta senza fare
> riferimento ad uno spazio di Hilbert e poi lavorare nel formalismo
algebrico.
> Pero' a questo livello quello che dici sopra sul teorema di Stone non
sarebbe
> utile perche' il teorema di Stone vale nella topologia forte e non in
quella
> uniforme. In altre parole, per recuperare nell'algebra anche le cariche (e
> mi pare questo il punto) della teoria, cioe' gli operatori che generano i
gruppi
> ad un parametro devi prima fissare uno stato e fare la ricostruzione GNS.
> Alternativamente, se le cariche le vuoi da subito come elementi
dell'algebra
> astratta, non puoi lavorare con una C*-algebra, dato che in generale
> non sono, quando rappresentate in spazi di Hilbert, operatori limitati.
Tutto questo discorso mi fa intuire che le proprieta' di paracompattezza
e gli spazi vettoriali potrebbero essere intrinsecamente insufficienti per
la formulazione di una teoria dei campi, richiedendo a supporto l'interplay
fra una topologia debole ed una piu' forte, per ambientare naturalmente
i due livelli di astrazione richiesti dallo schema quantistico e dalla
sua interpretazione che poggia su uno schema classico.
D'altronde la struttura hilbertiana sembra
imporsi naturalmente dalle astrazioni di carattere geometrico. In tal caso
chi e' che mi spiega se e dove necessita la riflessivita'
degli spazi di Hilbert, o eventualmente a che livello, forse al livello
dell'interpretazione classica? O forse e' una necessita' intrinseca
e naturale dello schema continuo imposto dalla teoria dei gruppi
di lie finito dimensionali? Grazie.
> Ciao, Valter
>
>
> > Fine della seconda puntata.
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> > Elio Fabri
> > Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Inviato via
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Received on Tue Feb 08 2005 - 16:14:13 CET