Re: rottura spontanea della simmetria(e ripristino)

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 07 Feb 2005 21:03:53 +0100

Seconda puntata.

Abbiamo visto che per l'i-esimo sottosistema l'algebra A_i delle
osservabili consiste delle combinazioi (complesse) di I_i, x_i, y_i,
z_i. E' dunque un'algebra (complessa) di dimensione 4.

Se consideriamo un insieme _finito_ F di sottosistemi, \`e naturale
definire la corrispondente algebra A_F come la chiusura lineare
dell'insieme di prodotti del tipo
\prod_{i \in F} w_i con w_i \in {I_i, x_i, y_i, z_i}.
Si vede che A_F ha dimensione 4^{|F|}.

Le algebre cosi' costruite le chiamiamo "algebre locali" e hanno delle
proprieta' interssanti:
1. Se F e' contenuto in G, allora A_F e' una sottoalgebra di A_G.
2. Se F e G non hanno elementi comuni, allora A_F e A_G sono entrambe
sottoalgebre di A_K, essendo K l'unione di F e G, e commutano. In
altri termini, A_F e' sottoinsieme del "commutante" A'_G di A_G in
A_K, e viceversa.

La 2 e' interessante perche' se intendiamo, come ho detto, gli indici
i come coordinate su una retta, acquista un'interpretazione che
ricorda la _commutativita' locale_ dei campi in una teoria
relativistica. E vedremo che ha anche conseguenze dello stesso tipo di
quelle che si trovano in una teoria dei campi "seria".

Ora bisognerebbe definire l'algebra A delle osservabili per l'intero
sistema. Come primo passo, si puo' pensare all'unione di tutte le
algebre locali; chiamiamola A_{loc}.
Questa pero' non e' soddisfacente dal punto di vista topologico,
perche' non e' chiusa nella topologia indotta dalla norma delle A_F.
Ma di nuovo, nessun problema: basta prenderne la chiusura: la
chiamero' semplicemente A.

A ha tutte le proprieta' che si possono desiderare: e' un'algebra di
Banach per costruzione, e' anzi una C^*-algebra. Ma per ora almeno non
faremo uso di questa proprieta' e quindi non mi preoccupo di darne
una definizione.

Mi limito solo a osservare che per costruzione A consiste di operatori
definiti sullo spazio di Hilbert H' (quello separabile) e per di piu'
di operatori _limitati.
Ci si puo' chiedere se li contiene tutti: la risposta e' _no_, ma non
e' banale arrivarci...
Allora ci si puo' chiedere perche' limitarsi ad A, e non ammettere
come algebra delle osservabili semplicemente quella di *tutti* gli
operatori limitati su H'.

Per la risposta dovrai aspettare la prossima puntata...

Intanto un'osservazione: il fatto che A contiene solo operatori
limitati puo' apparire un'eccessiva restrizione, visto che cosi' si
esclude addirittura l'hamiltoniana E.
Ma in realta' non c'e' da preoccuparsene, perche' se in A non ci sta
E, ci stanno pero' tutti gli operatori unitari T(t)=exp(iEt) per ogni
t reale, ossia le traslazioni temporali.
Il che basta, da un lato perche' le traslazioni temporali determinano
l'evoluzione nel tempo del sistema, ma anche da un punto di vista
matematico, perche' il teorema di Stone ci dice che la conoscenza dei
T(t) determina H.

Fine della seconda puntata.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Mon Feb 07 2005 - 21:03:53 CET