Re: rottura spontanea della simmetria(e ripristino)

From: Paolo Avogadro <paolo_avogadro_at_libero.it>
Date: Sat, 05 Feb 2005 17:53:29 GMT

Ciao


Il modello di Hubbard � un modello per descrivere le propriet� di un
solido su reticolo. In pratica l'ho sempre visto riferito a hamiltoniane
del tipo:

H= sum_ij T_ij C+_i C_j + sum_i U (N(su)_i N(gi�)_i)

Dove C+_i, C_i sono il creatore e il distruttore di uno stato di
particella sul sito reticolare indicato con i, mentre N(su)_i � il
numero di elettroni con spin su. In questo modello si approssima
l'interazione tra elettroni in genere supponendo che ci sia interazione
solo se gli elettroni si trovano sul medesimo sito reticolare.


> Non so che cos'e' il modello di Hubbard.
> Facciamo cosi': ci provo a piccole rate, anche perche' mi sa che
> dovro' ristudiarmi qualche cosa.
> Il che non mi dispiace: alla mia eta' e' piu' importante tenere in
> esercizio i neuroni che i muscoli :)

Ottimo!
>

>
> E' che io direi se mai "perplette".
Perplette mi perplime un po', perlomeno ha un suono poco verosimile. Ho
notato nel post di Dario che perplime per ora � un termine fantasma,
speriamo si materializzi presto nei vocabolari.



>
> Possiamo (ma solo a scopo euristico) immaginare che ogni sistema abbia
> una hamiltoniana E_i che possiamo identificare con z_i, o se
> preferisci con (I_i-z_i)/2, che ha autovalori 0 e 1; e chiamare "stato
> fondamentale" quello con autovalore 0.
> L'hamiltoniana totale sara' E = \sum E_i (non ci sono quindi interazioni).
>
> Per il sistema complessivo dovrei considerare il prodotto tensoriale H di
> tutti questi H_i, che non e' separabile.

> Una base sarebbe data dai prodotti tensoriali degli autovettori delle
> E_i; quindi la base viene descritta dalle successioni bilatere di 0 e
> 1. L'insieme di queste successioni ha la cardinalita' del continuo,
> come ci si doveva aspettare visto che H non e' separabile.

Ok.Perch� la base avrebbe dovuto essere numerabile.

>
> E' ragionevole (ecco a che serve aver introdotto l'hamiltoniana)
> limitarsi a considerare solo i vettori base in cui un numero finito di
> sistemi e' fuori dello stato fondamentale; ossia solo quelle
> successioni con un numero finito di 1. questi formano un insieme
> numerabile.

Ok.
> Pero' attenzione: questo non va bene, perche' le combinazioni lineari
> finite di questi stati non formano uno spazio di Hilbert (completo).
> Poco male: basta considerare la chiusura nella topologia indotta dalla
> norma (che non ho detto come e' definita, ma credo sia ovvia).

Se H_i � uno spazio sul sito i-esimo allora la norma di un vettore in
esso ||u_n||=sqrt(|c0|^2+|c1|^2) dove u_n =(c0,c1), allora la norma di
un vettore del prodotto tensoriale sar� il prodotto delle norme.

> Questo sara' il nostro spazio di Hilbert (separabile). Lo chiamo H'.
>
> Esercizio: dimostrare che E in H' non e' un operatore limitato.
>
> Fine della prima puntata.
>

Sia 1_i l'autostato non fondamentale di norma 1 di ogni spazio di
H_i(mentre 0_i � quello fondamentale),
consideriamo la successione {U_n} nello spazio prodotto dove
  U_n= 1_1 x 1_2 x...x 1_n x 0_(n+1) x... allora:
  ||U_n||=1
  E U_n=n U_n
||E U_n||=n
quindi non esiste nessun C tale che ||E U_n||<C||U_n|| ergo l'operatore
non � limitato.
ciao
   Paolo
Received on Sat Feb 05 2005 - 18:53:29 CET