Re: Orbite

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Thu, 27 Jan 2005 21:36:46 +0100

Luca Andreoli ha scritto:
> Vorrei sapere se esiste un programma scaricabile da internet per
> calcolare le varie orbite possibili di un pianeta.
Lascia stare i programmi, per favore...
Queste cose si fanno con penna e matita (e cervello ;-) ).

> Per chiarire meglio cio`che mi interesserebbe sapere cerco di
> spiegarmi : immaginiamo che la Terra miliardi di anni fa si trovava in
> moto rettilineo e stava andando chissa`dove.......poi passando ad una
> determinata distanza dal Sole e ad una determinata velocita`, e`stata
> <catturata> dalla gravita`solare e si e`messa a girargli attorno
> descrivendo una ellisse.
Per favore (e due): codesti discorsi lasciali fare a Zichichi.
La Terra non e' stata "catturata": come tutti gli altri pianeti, si e'
formata dalla stessa nube di materia da cui si e' formato il Sole.

Ma se vogliamo discutere il problema a solo titolo di esercizio, gia'
Mino ti ha detto
> Se un oggetto, proveniente da molto lontano (infinito) entra nel campo
> gravitazionale solare (cioe' dove la gravita' del sole ne altera
> "sensibilmente" il moto), essendo il campo conservativo, come vi entra
> cosi' ne esce, ovvero passa una volta sola come certe comete. Per
> essere "catturato" occorre che accada qualcos'altro: p. es. un
> passaggio nelle vicinanze di un grosso pianeta che ne alteri
> significativamente la velocita'.
Aggiungo un'altra possibilita' per la cattura: che quando i due corpi
si trovano vicini si producano fenomeni di marea che dissipano in modo
importante l'energia del corpo in arrivo.

> Insomma se non chiedo troppo mi piacerebbe avere una specie di
> tabella con le varie situazioni di distanza e velocita`della Terra
> Sole e situazioni che si sarebbero verificate.
Non ricordo che a che punto di studi sei, quindi che cosa dovresti
gia' sapere di meccanica in generale e del moto nel campo
gravitazionale in particolare.
Ma invece di darti la tabella cerco di fornirti i concetti, fedele
alla massima cinese che dice:
"Se un uomo ha fame e gli regali un pesce, l'hai sfamato una volta. Se
gli insegni a pescare, l'hai sfamato per sempre."

Non potro' giustificare tutto, ma spero che un po' di cose potrai
capirle.
La prima idea e' la conservazione dell'energia, che e' la somma di en.
cinetica (T=mv^2/2) e potenziale (V=-GMm/r). E=T+V.
Nota il segno meno: sta a significare che si assume
convenzionalmente zero l'energia potenziale per r-->oo.

Cio' detto, ci sono tre casi distinti:

a) E > 0.
Allora si dimostra che la traiettoria del corpo e' un'iperbole, ossia
arriva dall'infinito, raggiunge una distanza minima e poi si
riallontana.

b) E = 0.
Questo e' un caso limite: la traiettoria e' un parabola, ma il corpo
anche in questo caso arriva e torna all'infinito.

c) E < 0.
In questo caso (l'avrai gia' capito) hai una traiettoria ellittica:
quindi il moto e' periodico, e c'e' un'alternanza tra passaggi al
perielio e all'afelio.

Dato che E ha sempre lo stesso valore durante tutto il moto, se
riesci a misurare la distanza r e la velocita' v in un solo punto,
ossia a un solo istante, puoi subito calcolare T+V e decidere in che
caso ti trovi.

Ma non abbiamo finito: e' naturale chiedersi altre cose, per es. nel
caso dell'ellisse quali saranno i suoi assi? (il Sole sta sempre in un
fuoco, questo di certo lo sai).
Prima risposta: per il semiasse maggiore c'e' una formuletta
semplicissima:

a = GMm/(2|E|)

dove si vede che a dipende solo da E (le altre grandezze sono
costanti date una volta per tutte).
Questo vuol dire che un pianeta di data energia potrebbe trovarsi su
orbite di forma diverse, ma *tutte con lo stesso asse maggiore*.

C'e' di piu': il periodo dipende solo da a, quindi solo da E:

P = (2pi/(GM))*a^(3/2)

(questa e' la terza legge di Keplero).

Ma l'appetito viene mangiando, e ci si puo' chiedere: come si trova la
distanza q al perielio e quella Q all'afelio?
Si puo' fare anche questo, ma occorre introdurre un nuovo concetto,
scrivere un altro po' di formule...
Se vuoi, facciamo un'altra puntata.
                

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Thu Jan 27 2005 - 21:36:46 CET