Aleph wrote:
> vmoretti2_at_hotmail.com ha scritto:
>> In ogni caso continuo a credere che la risposta negativa che abbiamo
>> trovato alla questione in esame ("se il campo gravitazionale ha
>> simmetria sferica
>> immediatamente fuori dalla sua sorgente, allora la sorgente ha
>> simmetria sferica?") sia davvero sorprendente, non me lo aspettavo
>> proprio.
1> Torno solo oggi a leggere il newsgroup dopo 4 giorni e vedo che nel
2> frattempo siete andati molto avanti con la discussione.
3> Non ho avuto quindi ancora il tempo di leggere con attenzione tutti i
4> messaggi, devo dire per� che la conclusione che tu definisci
5> *sorprendente* a me sembra addirittura *increbidile* (infatti non ci credo
6> :)).
7> Ti chiedo quindi, se ti � possibile, di postare la forma esplicita della
8> densit� di massa priva di simmetria sferica in grado di risolvere il
9> problema, ovvero di fornire un potenziale sfericamente simmetrico
1> per r > R.
Ti riposto la soluzione che ho trovato io. Non posso
vantarmi di essere il primo scopritore Tetis dice
che ha trovato essenzialmente la stessa quanche giorno prima di me
ma il post e' arrivato dopo. Almeno la "scoperta" e' stata
indipendente, il Nobel ce lo darebbero equamente diviso .
A parte gli scherzi ecco qui:
La densita' di massa in coordinate polari e':
f(r,theta,phi) = q(r) + Y_10(theta,phi) g(r)
con g reale ortogonale alla funzione r nella misura r^2dr in [0,R]
avendo l'accortezza di prendere g liscia e con supporto
in, diciamo (R/3,R/2). Y_{lm} e' la solita armonica sferica.
q puo' essere presa liscia ovunque non negativa,
nulla fuori da [0,R) e, su [R/3,R/2], strettamente maggiore
del valore massimo di |Y_10(theta,phi) g(r)| che esiste
perche' tale funzione e' continua a supporto compatto.
Con queste scelte f e' ovunque non negativa come si addice ad una
densita' di massa e, dall'espasione in multipoli della soluzione
all'equazione di Poisson (vedi per esempio il Jackson di Elettromagnetismo),
risulta subito che il campo generato per R>0 ha tutti i momenti nulli
eccetto che quello di monopolo, per cui il campo ha simmetria sferica.
Si dimostra, con argomenti di continuazione analitica delle soluzioni
dell'equazione di Laplace che la simmetria sferica sussiste fino al
bordo della regione in cui la densita' di massa e' non nulla.
Ciao, Valter
1> A me � venuto in mente un trucchetto banale (e anche piuttosto ignobile
2> devo dire) per ottenere un potenziale sfericamente simmetrico a partire
3> da una distribuzione non sferica di massa ed � quello di considerare una
4> distribuzione sferica di massa continua (in una regione di spazio
5> limitata, semplicemente connessa se vuoi) in cui venga posto = 0 il valore
6> di rho in un insieme arbitrario di punti a misura nulla.
7> Ma, come gi� detto, pi� che una "soluzione" mi sembra una "paraculata".
Prima ho scritto un altro post (ora cancellato) scrivendo altre cose
su questo punto scambiando la densita' con il potenziale e scrivendo
una sciocchezza: non avevo capito bene quello che dicevi.
Fammi pensare, e' artificioso e sicurmente molto poco fisico,
ma... carino dal punto di vista matematico.
Fuori dalla sorgente non cambierebbe nulla esprimendo la soluzione con una
funzione di Green. Se l'insieme di misura nulla non ammette punti di
accumulazione dentro la sorgente la funzione risolverebbe
l'equazione di Poisson nei nei punti che rimangono sul supporto
della densita'...Si, come dici tu e' una vera "paraculata",
ma "ha del fascino" matematicamente parlando.
Ciao, Valter
Received on Tue Jan 25 2005 - 18:42:37 CET
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