Il 21 Gen 2005, 23:18, Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it> ha scritto:
>
>
> Tetis wrote:
> >Attenzione pero' che le armoniche sferiche sono una base ortogonale
> >completa della parte angolare nello spazio delle funzioni a quadrato
> >sommabile.
> >
> *Sull' angolo sferico totale*.
>
> >Ora mentre sono a quadrato sommabile le distribuzioni
> >regolari e limitate di carica ed e' localmente a quadrato sommabile
> >la funzione di Green di monopolo, questo non e' il caso del dipolo
> >elettrico concentrato che da luogo ad un potenziale il cui quadrato ha
> >un comportamento asintotico 1/r^4.
> >
>
> Questo non c' entra per niente. Non e' la integrabilita' in R^3 o della
> parte radiale che interessa per la completezza delle armoniche sferiche.
Se ti riferisci alla parte angolare delle armoniche sferiche la limitatezza
delle funzioni o la sommabilita' su una sfera e' piu' che sufficiente.
Ma l'armonicita' in genere impone un vincolo che lega la parte angolare
alla parte radiale. Cosi' se si parla delle funzioni armoniche sferiche che
si costruiscono dalla soluzione dell'equazione di Laplace allora:
in effetti io credo di si che occorra L^2 almeno tanto quanto occorre
per l'uso delle onde piane, con i soli indebolimenti ammessi dalla
teoria delle distribuzioni. Cioe' il costo da ammettere e' di rinunciare
ad usare per pesi i semplici polinomi (r^l ed 1/r^l) ed ammettere per pesi
delle distribuzioni.
In generale io credo che occorra la sommabilita' del quadrato
delle funzioni sia perche' questi sono gli unici spazi con le proprieta'
di dualita' necessarie per la rappresentabilita' delle misure in termini
di funzioni dello stesso spazio, sia perche' non ho mai visto degli
sviluppi in armoniche sferiche dei potenziali di multipolo fuori
centro eccetto che per lo sviluppo della funzione di Green, so
calcolarle in termini di derivate, ma le derivate agiscono su funzioni
che non sono lisce. Ma anche questo non dimostra ancora la
completezza delle armoniche sferiche per la generalita' dei casi
pensabili che non sono quadrato sommabili.
Infatti: quando usi la formula di Poisson ti poni
nelle condizioni di scrivere una funzione armonica dentro o fuori
di una sfera e l'integrale di Poisson e' unico e permette
di esprimere in modo univoco in termini di sviluppo in multipoli
il potenziale esterno.
Questa possibilita' pero' non implica ne' l'estendibilita'
della soluzione armonica a tutto il dominio interno (anzi questo e'
vietato da un teorema di teoria del potenziale che garantisce che:
"funzioni ovunque armoniche nello spazio devono avere comportamento
polinomiale"), ne' che tale eventuale estensione sia unica e
che non esistano punti di diramazione o altre stranezze.
Per
contro se a generare il potenziale esterno e' un sistema di
cariche puntiformi allora l'estensione armonica individua
univocamente sia la loro posizione che la loro entita'. E non
soltanto, siccome il potenziale generato da ciascuna delle
cariche e' riscrivibile in termini di una serie possiamo scrivere
il potenziale in tutta la sfera come somma di armoniche sferiche
con parte radiale di tipo polinomiale a tratti (due tratti per ogni
carica e per ogni indice di momento angolare). Non appena
pero' consideriamo un dipolo fuori dal centro allora io non saprei
fare altro che mettermi con pazienza a sviluppare le derivate.
Se hai delle indicazioni bibliografiche te ne sarei grato.
> Sul resto, e in particolare sull' esempio di Valter ci devo pensare.
> Cosi' a naso c'e' qualcosa che non mi torna...
>
> Giorgio
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Received on Mon Jan 24 2005 - 12:03:59 CET