Re: Dubbi su kernel degeneri e equazioni integrali di fredholm per scattering ottico

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Mon, 24 Jan 2005 09:59:43 +0100

neurino wrote:
> Salve a tutti.
> Scusate innnanzitutto se posto un argomento meno fisico del solito,
> anche se per quanto mi riguarda tocca un problema fisico molto
> tangibile cio� l'inversione di dati di scattering ottico.
> Ho postato i miei dubbi in it.scienza.matematica ma non ho ottenuto
> risposte. Magari qualche volenteroso pu� aiutarmi a chiarirmi le idee.
> Leggendo il libro di Groetsch "Inverse Problems in Math Sciences"
> mi sono imbattuto in questo problema.
>
> Integrale{ k(s,t)*x(t)*dt } = y(s) ; 0<= t <= 1
>
> Mostrare che, se il kernel k(s,t) � degenere, non esiste
> soluzione se y non giace nello span di {S_1...S_n}.
> k(s,t) � degenere se � esprimibile come
> Somma_j{ S_j(s)*T_j(t) }
>

Ciao.
Quello che devi provare equivale alla seguente
proposizione.
"Se il kernel k(s,t) e' degenere e se l'equazione in x

Integrale{ k(s,t)*x(t)*dt } = y(s) ; 0<= t <= 1

ammette una soluzione, allora y e' una combinazione
lineare di S_1,S_2,...,S_n,
dove k(s,t)= Somma_j{ S_j(s)*T_j(t) }"

Dimostrazione.
Sia x una soluzione nel caso degenere, allora vale

Integrale{ k(s,t)*x(t)*dt } = y(s)

ossia

Integrale{Somma_j{ S_j(s)*T_j(t) }*x(t)*dt } = y(s)

ossia, scambiando il simbolo di somma con quello di integrale
(la somma e' finita) ed estraendo le funzioni
(S_j(s)*)*= S_j(s) che non dipendono dalla variabile di integrazione:

Somma_j S_j(s) Integrale{T_j(t)*x(t)*dt } = y(s) (1)

Definite le costanti C_j := Integrale{T_j(t)*x(t)*dt}
La (1) si riscrive

y(s) = Somma_j C_j S_j(s)

che e' la tesi.
QED

Tutto funziona se l'indice j spazia in un insieme finito, altrimenti
bisogna stare attenti e fare ulteriori ipotesi sulla funzioni e sulla
convergenza delle serie per poter scambiare l'integrale con la serie
usando il teorema di Fubini-Tonelli.

Ciao, Valter
Received on Mon Jan 24 2005 - 09:59:43 CET