Dubbi su kernel degeneri e equazioni integrali di fredholm per scattering ottico

From: neurino <neurino_at_physik.fu-berlin.de>
Date: Sat, 22 Jan 2005 15:17:17 +0100

Salve a tutti.
Scusate innnanzitutto se posto un argomento meno fisico del solito,
anche se per quanto mi riguarda tocca un problema fisico molto
tangibile cio� l'inversione di dati di scattering ottico.
Ho postato i miei dubbi in it.scienza.matematica ma non ho ottenuto
risposte. Magari qualche volenteroso pu� aiutarmi a chiarirmi le idee.
Leggendo il libro di Groetsch "Inverse Problems in Math Sciences"
mi sono imbattuto in questo problema.

Integrale{ k(s,t)*x(t)*dt } = y(s) ; 0<= t <= 1

Mostrare che, se il kernel k(s,t) � degenere, non esiste
soluzione se y non giace nello span di {S_1...S_n}.
k(s,t) � degenere se � esprimibile come
Somma_j{ S_j(s)*T_j(t) }

Quello sopra era il post originale al quale dopo un paio di giorni �
seguito quello con le mie personali elucubrazioni in latex.

\documentclass[a4paper]{report}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb, epsfig}
\usepackage{latexsym}
\begin{document}
direi che se $y$ appartiene allo spam di $S_i$
scrivo $$y(s)=\sum_iS_i(s)a_i(s)$$

se no esiste un altro spazio di
funzioni (credo ortogonali a $S$), $V$ per cui
$$y(s)=\sum_iS_i(s)a_i(s)+\sum_jV_j(s)b_i(s)$$
Giusto?

L'equazione di partenza e':
\begin{eqnarray}
\label{lello}
  \int_0^1K(s,t)x(t)dt&=&\int_0^1\sum_i S_i(s)T(t)x(t)dt=y(s)\\
&=&\sum_iS_i(s)a_i(s)+\sum_jV_j(s)b_i(s)
\end{eqnarray}
il che significa:
\begin{eqnarray}
\sum_i
S_i(s)\left[\sum_i\int_0^1T(t)x(t)dt-a_i(s)\right]=\sum_jV_j(s)b_i(s)
\end{eqnarray}

Ora se si riesce a trovare un argomento per cui due spazi di funzione
$S$ e $V$ (dovrebbero essere ortogonali, giusto?) non possono
generare delle soluzioni comuni (sembra ragionevole pero' non sono
sicuro) allora l'unica possibilita' per risolvere l'equazione e' che
$\sum_i
S_i(s)\left[\sum_i\int_0^1T(t)x(t)dt-a_i(s)\right]=\sum_jV_j(s)b_i(s)=0$.
Si vede che se $\sum_jV_j(s)b_i(s)=0$

allora
$$\sum_i\int_0^1T(t)x(t)dt=a_i(s)$$
e questa dovrebbe essere risolubile. Ci devono essere delle altre
condizioni: mi pare troppo semplice. E che succede se il kernel non e'
degenere?
\end{document}

grazie mille.

neurino
neurino
Received on Sat Jan 22 2005 - 15:17:17 CET