Winston Smith ha scritto nel messaggio
>Mi sembra che i due approcci siano complementari: un conto � la storia
>del concetto di vettore (e di prodotto vettoriale), un altro conto �
>quello che effettivamente *�* il prodotto vettore. Questo la storia non
>ce lo dice, se non alla fine...
CUT
La didattica della matematica ha combinato pi� problemi di quello che
pensassi a quanto pare!
Parliamo del prodotto SCALARE.
Si dimostra facilmente che il significato fisico del prodotto scalare � il
seguente:
Se v' � una forza la cui direzione e la cui grandezza sono rappresentate dal
segmento OP', allora l'effetto di questa forza su un oggetto situato in O
nella direzione OP, dove OP rappresneta v, � dato dalla proiezione di OP' su
OP, cio� da OP' cos ph. N.B.(la traslitterazione della lettera greca in
italiano � "ph").
Ph � l'angolo compreso tra OP' e OP. Se OP ha lunghezza unitaria, la
proiezione di OP' su OP � precisamente uguale al valore del prodotto v * v'.
Questo � il motivo per cui fu introdotto il prodotto scalare perch� utile in
fisica.
E per "far tornare i conti", si pone:
i*i = j*j = k*k = 1
i*j= j*i = i*k = k*i = j*k = k*j= 0
Cos�, come tutti sappiamo bene, si ottiene v*v' = aa' +bb' + cc', dove
ovviamente v= ai+bj+ck, mentre v' = a'i+b'j+c'k.
Questo prodotto come tutti sappiamo NON � pi� un vettore ma un numero reale,
o scalare, e viene appunto detto prodotto scalare.
Ora, andiamo pi� indietro nel tempo e vediamo meglio da dove origina tutto
questo.
La nozione di vettore, cio� di segmento orientato di retta,che pu�
rappresentare la grandezza e la direzione di una forza, di una velocit� o di
una accelerazione, entr� in matematica "discretamente". Aristotele per es.
gia sapeva che le forze possono essere rappresentate da vettori e che
l'azione combinata di due forze pu� essere ottenuta mediante quella che �
comunemente nota come regola del parallelogramma.
Per es. Stevin us� la regola del parallelogramma in problemi di statica e
Galileo la enunci� esplicitamente.
Dopo che la reppresentazione geometrica dei numeri complessi dovuta a
Wessel, Argand, e Gauss divent� abbastanza familiare, i matematici si resero
conto che i numeri complessi potevano essere usati per rappresentare i
vettori piani e per lavorare su di essi.
Cio� i numeri complessi forniscono un'algebra nei confronti dei vettori del
piano. Cos� non � necessario effettuare le operazioni geometricamente, ma si
pu� lavorare algebricamente.
Questo uso dei numeri complessi per rappresentare i vettori piani divent�
ben noto entro il 1830. Per� l'utilit� dei numeri complessi � limitata al
piano in questo caso.
Come tutti sappiamo se pi� forze agiscono su un corpo, non � detto che esse
stiano tutte su un piano. E quindi come � ovvio per trattare queste forze �
necessario un analogo TRIDIMENSIONALE dei numeri complessi. Ovviamente si
poteva continuare a usare le coordinate cartesiane ordinarie(x,y,z) di un
punto, ma NON si conoscevano le operazioni sulle terne di numeri che
potessero rappresentare le operazioni sui vettori.
Queste operazioni come nel caso dei numeri complessi avrebbero dovuto
comprendere l'addizione, la sottrazione, il prodotto, e la divisione, e
soddisfare alle solite propriet� associative, commutative, distributive etc.
..
Cos� i vari Wessel, Gauss e Hamilton si misero a lavoro.
Hamilton chiar� meglio la nozione di numero complesso e questo gli permise
di affrontare meglio degli altri il problema di introdurre UN ANALOGO
TRIDIMENSIONALE per rappresentare i vettori dello spazio.
Hamilton giunse quindi dopo 15 anni di studi, ai quaternioni. Questi
quaternioni si rivelarono d'importanza incommensurabile per l'algebra, Una
volta chei matematici si resero conto che era possibile costruire un sistema
significativo e utile di "numeri" che non possedevano la propriet�
commutativa dei reali e dei complessi, si sentirono pi� liberi di prendere
in considerazione le costruzioni che si allontanavano anche pi� radicalmente
dalle propriet� usuali dei numeri reali e complessi,
Questa presa di coscienza era necessaria prima che potessero essere
elaborate l'analisi e l'algebra dei vettori, perch� come sappiamo essi
violano ancora di pi� dei quaternioni le leggi ordinarie dell'algebra. Cio�
le ricerche di Hamilton condussero alla teoria delle algebre lineari
associative.
Il passaggio dai quaternioni ai vettori si ebbe in particolare con Maxwell
il quale conosceva l'opera di Hamilton, mentre non conosceva l'opera di
Grassmann.
Maxwell isol� la parte scalare e la parte vettoriale del quaternione
hamiltoniano e concentr� la sua attenzione su questi due concetti
separatamente.
Cmq nel suo Treatise on Electricity and magnetism, fece una concessione
maggiore ai quaternioni parlando piuttosto dellla parte scalare e della
parte vettoriale di un quaternione e le trattava separatamente.
Maxwell dice che un vettore richiede per la sua specificazione tre
quantit�(componenti) che possono essere interpretate come lunghezze lungo i
tre assi coordinati. Questo concetto di vettore � la parte vettoriale del
quaternione hamiltoniano, come dice lo stesso Maxwell.
Hamilton aveva introdotto una funzione vettoriale v di x, y , z avente come
componenti v1, v2, v3, e aveva applicato l'operatore nabla(grad: gradiente)
Nabla =i(_at_/_at_x) + j(@/_at_y) + k(@/_at_z) N.B. @= der. parziale.
Cos� Nabla di v � un quaternione.
Maxwell invece separa la parte scalare da quella vettoriale e le indica
separatamente con S nabla v (parte scalare di v) e con V nabla v (parte
vettoriale di v).
S nabla v � chiamata convergenza di v, perch� sta espressione era gia usata
nella dinamica dei fluidi e perch� quando v � la velocit�, essa ha il
significato di flusso.
Poi chiama V nabla v, rotazione, CURL, rotore, di v,perch� pure questa
espressione era gia comparsa nella dinamica dei fluidi per denotare il
doppio tasso di rotazione del fluido in un punto.
Fu solo Clifford in seguito che chiam� - S nabla v, divergenza.
Quindi vi fu una sorta di rottura con i quaternioni e venne inaugurata
l'analisi vettoriale da Gibbs e da Heaviside.
Gibbs - Wilson, Vector analysis, 1901. Questo libro formalizza l'analisi
vettoriale che verr� poi accettata. Non serve il "tensore" per
svilupparla,come altri concetti seguenti.
E ovviamente, sempre per problemi "fisici" si introduce il prodotto
vettoriale, che viene introdotto in quel modo(come ha spiegato Elio) sempre
per motivi "fisici".
E anzi, per far tornare i conti si pone:
i x i = j x j = k x k = 0
i x j= k j x i = -k
j x k = i k x j = -i
k x i = j i x k = - j
Tutto questo, che NON sono pi� i quaternioni di Hamilton, che cmq volevano
servire allo scopo fisico, fu elaborato proprio da Gibbs e Wilson, ma in
particolare da Gibbs.
Ovviamente la storia � pi� intricata e infatti ho consigliato di Crowe, A
history of vector analysis.
In tutto questo, come si nota, i tensori non c'entrano proprio nulla.
Ma la didattica della matematica � quella che �. E la colpa non � di
nessuno.
Ovviamente, c'� chi non si arrende a va a "scavare" le origini, e chi si
accontenta di Bourbaki.........
Saluti a tutti
Franco
Received on Sat Jan 22 2005 - 13:56:20 CET
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