Re: Prodoto vettoriale.

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Tue, 18 Jan 2005 21:16:33 +0100

Andrea ha scritto:
> Non riesco a trovare una motivazione alla nascita del prodotto
> vettoriale.

Winston Smith ha scritto:
> Il problema � che per capire da dove viene fuori quella definizione
> bisogna conoscere un minimo di algebra tensoriale.
Invece secondo me bisogna conoscere un po' di storia della fisica e
della matematica (conosco qualcuno che gongolera' per questa mia
affermazione :-)) )

Bisognerebbe sapere prima di tutto che i vettori nel senso in cui li
usiamo oggi sono una creazione realtivamente recente: meno di un
secolo.
I primi tentativi di costruire un qualcosa di simile, da applicare a
problemi di fisica (e' da li' che e' nato tutto) risalgono alla fine
dell'800, a parte precursori come Hamilton (quaternioni).

Pero' le idee fisiche alle quali tornera' utile applicare i vettori, e
in particolare il prodotto vettore, risalgono molto piu' indietro:
fine '700 - inizi '800.

I campi sono due (senpre nella meccanica): la statica dei corpi rigidi
e la dinamica dei sistemi.
Idee sull'importanza del momento di una forza oer l'equilibrio sono
antichissime: gia' ai tempi di Galileo se ne avevano idee, anche se
poco chiare.
Non so dire a chi siano dovute le condizioni di equilibrio come le
conosciamo oggi: risultante nulla, momento risultante nullo. Punterei
su Eulero, ma solo perche' ha capito per primo tante di quelle cose,
che sembra la persona giusta...
Solo che a quel tempo (fine '700) le condizioni si scrivevano in
componenti: il concetto di vettore e tanto piu' quello di prodotto
vettoriale erano di la' da venire.

Posso invece essere piu' preciso per la dinamica dei sistemi: Laplace
scopre che nel moto del sistema solare c'e' un piano che resta
invarianto (appunto il piano di Laplace).
La giacitura di questo piano, passante per il centro di massa del
sistema, puo' venir data mediante la direzione della sua normale.
Laplace da' la formula per questa direzione, in sostanza scrivendo il
momento angolare del sistema.
Ignoro se e quando sia stato scoperto che anche la _grandezza_ del
momento angolare si conserva. O meglio: come legge delle aree era nota
a Keplero; ma quando e' stata fatta l'unificazione tra direzione e
modulo? Forse dallo stesso Laplace?

Ecco da dove nasce che il prodotto vettore e' ortogonale ai due
vettori: il piano di Laplace per la Terra, per esempio, e' quello
dell'orbita: la normale e' ovviamente ortogonale tanto al raggio
vettore quanto alla velocita' del pianeta.
In notazione moderna: L = m r x v (dove la "x" e' il simbolo di
prodotto vettore).

E' incredibile quanto lento sia stato lo sviluppo di queste idee:
ancora meno di un secolo fa l'uso delle notazioni vettoriali era
tutt'altro che diffuso, e comunque non c'erano notazioni uniformi per
prodotto scalare e vettore.
Esempio: un notevole libro di meccanica celeste, quello di Brouwer e
Clemence, ancora negli anni '50 *non usava* i vettori!

Nei primi decenni del '900 si trovavano per il prodotto vettore
notazioni in competizione: u/\v, oppure uxv, oppure [u,v].
Per es. quest'ultima notazione, che e' quella di Grassmann, la trovate
in classico testo di elettromagnetismo come il Becker.
La notazione con "x" era di Gibbs, ed e' stata adottate dalla scuola
anglosassone, per cui oggi e' prevalente ovunque.
La notazione "/\" e' della scuola italiana (Burali-Forti, Marcolongo).
Non ha avuto diffusione fuori d'Italia, ma e' poi stata recuperata dai
matematici per il prodotto esterno.
Lo sviluppo sistematico dell'algebra esterna (con la dualita' di
Hodge di cui parla Winston Smith) sono prodotti relativamente recenti.
Non saprei precisare la data, ma a occhio li situerei dopo il 1920.
  

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Tue Jan 18 2005 - 21:16:33 CET