Re: cariche immagine e elettrodinamica classica

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Mon, 19 Sep 2011 19:56:14 +0200

Sergio Cova ha detto questo luned� :

[cut]

> Ora notiamo la prima cosa strana:
>
> J_risultante � ortogonale al piano... mi sembra assurdo.
> Possiamo
> vedere che � ortogonale al piano perch� il rotore di B_risultante (che
> sta nel piano) � per forza ortogonale al piano, e abbiamo visto che
> E_risultante � anch'esso ortogonale al piano per tutto il tempo, e
> quindi lo sar� anche la sua derivata parziale rispetto al tempo.

D'accordo, ma perch� motivo questi due dovrebbero dar luogo ad una
corrente? La loro somma, del rotore e della derivata temporale di E, se
li calcoli con accortezza, tenendo conto dei potenziali ritardati,
dovr� essere rigorosamente nulla perch� hai calcolato questi campi
senza considerare la presenza del mezzo metallico e nel vuoto
l'equazione corretta �:

0=4*pi/(mu)*(rot(B_risultante)-1/c^2*DE_risultante/Dt)

nulla di strano nel fatto che siano entrambi ortogonali al piano.

La corrente, a questo punto, la determini a posteriori, supponendo che
il piano metallico risponda al campo elettrico istantaneamente
generando una distribuzione di carica che annulla il campo elettrico
internamente al metallo (nell'ipotesi di conduttore ideale), e che il
campo elettrico si mantenga davvero nullo all'interno del metallo
ottieni che la corrente deve essere una densit� di corrente
superficiale. La corrente la ottieni risolvendo il problema
bidimensionale:

_at_jx/_at_x + @jy/_at_y = - @s/_at_t

dove con s indichi la densit� superficiale di carica ottenuta imponendo
la condizione che il campo elettrico interno sia nullo.

E' adesso che ti puoi porre un problema di compatibilit�: puoi cio�
domandarti se � vero che la soluzione del problema per la corrente
verifica anche la condizione che il campo magnetico sia discontinuo in
modo da annullarsi immediatamente sotto la superficie del metallo (come
richiede la circostanza che essendo nullo il campo elettrico _at_B/_at_t=0
insieme con la condizione che il campo magnetico in assenza del
conduttore si annulla all'infinito), nonch� la condizione che la
corrente � proporzionale al campo elettrico tangente alla superficie.

Bene � evidente che le due condizioni non saranno esattamente
verificate, ma al contrario risultano apertamente violate nella misura
in cui l'immagine considerata non tiene conto degli effetti di
finitezza della velocit� di propagazione della luce.


> Amesso che riusciamo a spiegare questa prima stranezza, vediamo poi
> che:
>
> X � il prodotto vettore
> J_risultante X B_risultante sta per forza nel piano, date le direzioni
> precedenti, quindi la soluzione non va bene.

In verit� vedi che jxb = 0, cio� l'effetto Hall sulla superficie
risulterebbe rigorosamente nullo.


> A questo punto si deve obiettare che sono partito impostando il
> problema in modo sbagliato, avrei dovuto cercare la quadricorrente
> immagine in modo da rendere ortogonale al piano non E da solo, ma la
> risultante:
>
> rho*E+JXB
>
> sul piano.

Il problema in verit� � proprio l'avere cercato una soluzione che rende
E ortogonale alla superficie: � un problema nella misura in cui un
campo ortogonale alla superficie non � compatibile con una corrente
lungo la superficie. Tuttavia nella misura in cui il campo richiesto
dalla corrente ottenuta � debole rispetto alla componente ortogonale
ottenuta, ovvero nella misura in cui il campo elettrico varia poco nel
tempo D/c di propagazione della luce dalla sorgente al piano,
l'approssimazione fornita dal metodo delle immagini elettrostatico �
accettabile.


> Per� mi chiedo se farlo sia possibile, con una semplice trasformazione
> lineare M.
>
> Questa trasformazione lineare che propriet� dovrebbe avere per
> funzionare? Dipende in generale dalla distribuzione di quadricorrente
> reale istantanea, o da tutta la sua storia?
>
> E' un'intera causa persa questa di cercare di usare le cariche
> immagine in elettrodinamica?

No, ma applicarlo al caso in cui gli effetti di ritardo non siano
trascurabili pu� essere problematico.

> Oppure ho semplicemente sbagliato qualche calcolo sulle direzioni?

S� avevi sbagliato a pensare che i campi di vuoto ti potessero dare una
corrente non nulla. La corrente potrebbe risultare non nulla, ma solo
per effetto di un errore nel calcolo dei campi, per esempio trascurando
i ritardi nel calcolo dei potenziali elettrico e vettoriale. O al
contrario perch� si � determinata correttamente l'evoluzione temporale
del campo elettrico tangenziale sulla superficie del metallo. Occorre
in pratica avere anche un campo magnetico non nullo tangenziale in modo
da garantire la condizione di discontinuit�, ma qui interviene
un'ulteriore sottigliezza: il campo magnetico essendo una funzione
ordinaria a valori finiti non pu� dar luogo ad una discontinuit� nella
componente tangenziale del campo elettrico, ed in pratica nella realt�
dei fatti il campo elettrico ed il campo magnetico non si annullano
esattamente in tutto il bulk, lo spessore nel quale essi decrescono
rapidamente a zero si chiama "lunghezza pelle" del conduttore.

> Ciao e grazie.

Received on Mon Sep 19 2011 - 19:56:14 CEST