Soviet_Mario ha scritto:
> Geometricamente non mi risulta ovvio che un oggetto unidimensionale
> non possa avere una curvatura (anzi mi pare che si possa definire il
> raggio di curvatura di una linea, magari variabile punto a punto ...
> anche se così come non capisco la curvatura vera dello spazio tempo
> nemmeno a questa saprei assegnare un significato fisico qualsivoglia)
Ottima domanda, che in un certo senso ho provocato scrivendo quelle
parole :-)
Sarebbe troppo facile rimandare anche te ai pertinenti capitoli di
Q16. Troppo facile e anche ingiusto.
Si tratta in realtà di concetti basilari di geometria diferenziale,
che a parte il nome pomposo sarebbero perfettamente alla portata di
uno studente di scuola sec. superiore.
E' uno dei vari argomenti di matematica che se toccasse a me
riscrivere le IN amerei inserire.
In poche parole, occorre la distinzione fra curvatura *intrinseca* o
(interna) ed *estrinseca* (o esterna).
Facciamo l'esempio più facile: prendi un foglio di carta e arrotolalo.
In origine era piano (piatto) non curvo, ora è curvo.
Però la curvatura che vedi è estrinseca, esiste solo perché il foglio
sta in uno spazio 3D.
La puoi definire in vari modi, per es. osservando che le normali in
punti diversi del foglio arrotolato nomn sono parallele, mentre per il
foglio piatto lo erano.
La stessa cosa puoi fare per una curva nel piano: le normali in punti
diversi formano un angolo, e andando a precisare le cose puoi usare
proprio questo angolo per definire il raggio di curvatura.
Al tempo stesso, puoi "raddrizzare" qualunque curva del piano senza
alterarne la lunghezza: se prendi due punti A e B della curva
originaria e gli stessi due punti dopo che l'hai raddrizzata, la
lunghezza *misurata lungo la curva* rimane la stessa.
Lo stesso è vero per il cilindro alias foglio arrotolato: puoi
definire una distanza tra due punti del cilindro (suff. vicini, per
non avere problemi) e puoi srotolare il cilindro senza alterare questa
distanza.
Si dice che il cilindro è una superficie "sviluppabile".
Ma qui nasce una differenza tra curva e superfici.
Mentre tutte le curve sono sviluppabili, ossia deformabili in una
retta senza alterare la lunghezza (in modo *isometrico*, si dice)
questo invece non si può fare per tutte le superfici.
E' la ragione per cui occorre una certa abilità per sbucciare un
frutto (arancia o mela che sia).
E' anche la ragione per cui non esistono carte geografiche della Terra
che non comportino una deformazione, un'alterazione delle distanze.
La sfera è il più semplice esempio di superficie *non sviluppabile*
nel piano.
Ci si può accorgere di questo mediante misure fatte solo sulla
superficie? (La geometria delle formiche, per così dire...)
Si può, in vari modi.
Forse il più intuitivo consiste nello scegliere un punto O, una
distanza r, e considerare tutti i punti che hanno da O la distanza r
*sulla superficie*
Nel piano questi stanno su una circonf. di centro O e raggio r, che è
lunga 2pi*r.
Sulla sfera, O potrebbe essere il polo nord: i punti a distanza r
formeranno un parallelo.
Quanto è lungo il parallelo di "raggio" r?
Risposta: 2pi*R*sin(r/R), se R è il raggio della sfera.
Questo dimostra che la sfera non è sviluppabile sul piano, e permette
anche di definire la curvatura intrinseca.
Allo stesso modo, salendo di astrazione, si può concepire una
"ipersuperficie" in uno spazio euclideo 4D che non si può sviluppare
in 3D.
Solo che qui le cose si complicano perché una sola curvatura non basta
a definirne le proprietà geometriche: ci vuole il tensore di Riemann,
che in questo caso ha 6 componenti.
Gà ti vedo scrivere un racconto di fantascienza su questa idea :-D
--
Elio Fabri
Received on Mon Jan 06 2020 - 16:26:00 CET