Il 03 Dic 2004, 17:15, "Moonself" <trappola2_at_NOSPAMtiscalinet.PUNTOit> ha
scritto:
> Ciao a tutti.
> Sto cercando di risolvere il seguente esercizio e siccome fino a
> gioved� non posso consultare il prof, vorrei sapere se � la strada
> giusta:
> data una particella soggetta a un potenziale armonico a simmetria
> sferica U(r)= 1/2 k*r^2 trovare le autofunzioni che siano anch'esse a
> simmetria sferica. Trovare poi i relativi autovalori.
> Io procedo cercando delle autofunzioni del tipo u(r, teta, fi)= u(r)
> cio� non c'� dipendenza dalla parte radiale.
> E' corretto dire che la parte relativa alle armoniche sferiche ha come
> numeri quantici L=0 e m=0? Mi pare che siano le uniche armoniche che
> presentino la simmetria richiesta.
> Se sostituisco queste funzioni nell'hamiltoniano ottengo un'equazione
> per la sola parte radiale che mi risulta del tipo:
>
> -h/2m d^2u/dr^2 + 1/2 k*r^2u = w u
>
> <lo so, leggere la notazione via mail � un tormento><h � in realt� h
> tagliato, w l'autovalore di u>
> Questa non � altro che l'eq per le autofunzioni dell'oscillatore
> armonico monodimensionale, per la quale posso usare i risultato
> conosciuti <� un suggerimento del testo>.
> A questo punto mi viene da dire che le soluzioni per la parte radiale
> sono del tipo:
>
> u(r)=Nn*Hn(ar)*e^[(-ar)^2]/2 dove Nn � una costante di
> normalizzazione e Hn sono i polinomi di Hermit di grado n-esimo.
>
> "a" � una costante che dipende da m,k e h.
> Ora ho alcuni dubbi <il primo dubbio � "sto sbagliando qualcosa?"> :)
Si in effetti l'errore sta nel modo in cui hai scritto il laplaciano
in coordinate sferiche. Se noti nell'espressione corretta hai
(1/r) d^2/dr^2 (r u)
allora in effetti l'equazione si riduce a quella per un oscillatore
armonico in una dimensione per la nuova funzione v = r u.
Le condizioni di bordo sono ancora differenti. Tuttavia puoi
sempre utilizzare le funzioni di Hermite per verificare l'equazione
nel dominio [0, +oo). Imponendo il vincolo che il modulo
quadrato della funzione d'onda sia integrabile otteniamo la
condizione che il quadrato di v sia integrabile che e' verificata
automaticamente dalle funzioni di Hermite. Tuttavia questo insieme
e' ancora troppo ampio rispetto alla fisica del sistema. Occorre infatti
richiedere che l'energia sia limitata e questa condizione non e'
compatibile con una divergenza nella funzione u se l'energia potenziale
e' limitata nei pressi dell'origine, di conseguenza v, nei pressi di zero,
deve comportarsi al peggio come r, di conseguenza v(0)=0.
la condizione che v(0)=0 implica, come avevi intuito, la condizione
che gli autovalori devono essere dispari e dunque troviamo autovalori
della forma (2k+1 + 1/2)h om. Questa condizione e' verificata
automaticamente dallo stato fondamentale ma non per esempio da
tutte le funzioni r * f(x)f(y)f(z) con f autofunzione dato che non tutte
queste
funzioni sono a simmetria sferica.
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Received on Mon Dec 06 2004 - 18:23:09 CET