Il 17 Nov 2004, 21:25, Michele Andreoli <m.andreoli_at_tin.it> ha scritto:
> Tetis ebbe a scrivere:
>
> > Il peso risulta semplicemente
> > la funzione coefficiente del parametro del problema di
> > Sturm-Liouville. In questo caso il parametro e' la frequenza
> > propria. Mi chiedo se c'e' un modo di rendere intuibile che il peso
> > del prodotto scalare deve essere proprio il coefficiente del
> > parametro.
>
> Basta pensare alle matrici simmetriche.
Grazie Michele.
In verita' di questo risultato piu' che un presentimento avevo
una cognizione rimossa, il compito di metodi con cui fui ammesso
al mio esame orale chiedeva di considerare un operatore autoaggiunto
su un intervallo... e testare la completezza e l'ortogonalita' di una
base...
Solo che fino a quando non ho riletto sulla tua nota di ieri la
dimostrazione
dell'ortogonalita' una specie di muro mi impediva di ritrovare quel
risultato. Il motivo e' che non ho mai digerito ad un livello spicciolo
e concreto quella dimostrazione. Ed ancora sto cercando questo.
Quando ho ritrovato il teorema di Sturm Liouville quello che non ho
capito e' il significato fisico del prodotto scalare. Rispetto a questo
continuo a chiedermi cosa significa. Il punto chiave e' certamente
il fatto che mu(x) e' la densita' che moltiplica la derivata temporale,
insieme al fatto che l'hamiltoniana non dipende esplicitamente dal
tempo, insieme alla proprieta' di autoaggiunzione della buona
hamiltoniana. Ma questo e' solo un punto.
Un altro punto che mi poneva difficolta' nel considerare il
problema con la discontinuita' e' come ottenerla come caso limite
di un normale problema di Sturm - Liouville e come dobbiamo
trattare la tensione. In termini distribuzionali la derivata seconda
di una funzione con derivata discontinua e' una delta, quindi non
comporta difficolta' anche l'assumere la tensione costante. Questo
e' importante perche' una tensione che dipende dal punto ci porterebbe
fuori dallo schema di Sturm Liouville. Infatti un termine
moltiplicativo sulla derivata seconda non permetterebbe di passare
la derivata seconda dalla seconda funzione alla prima funzione
con la tecnica di integrare due volte per parti e sfruttare il vincolo che
la derivata al bordo e' nulla. Tuttavia una tensione variabile non sarebbe
fuori dal mondo, basterebbe considerare un materiale disomogeneo.
Potremmo sempre ricondurci ad un problema di Sturm Liouville, ma
occorrerebbe dividere per T(x). Ed in tal caso il peso non sarebbe
mu(x) ma sarebbe mu(x)/T(x). Cio' detto io continuo a pensare che
la valutazione diretta del prodotto scalare nasconda il carattere generale
del risultato, ma questo si verifica solo perche' non abbiamo fornito
una interpretazione fisica per il prodotto scalare in questo caso.
Ho scomodato la costruzione di Picard perche' io penso che questa
avvicini a comprendere il contenuto piu' profondo del teorema di
Sturm-Liouville. Infatti questa costruzione puo' essere pensata come
una costruzione iterativa che da una evoluzione generica sfronda
le componenti che non obbediscono alle leggi di conservazione fino
ad ottenere una evoluzione conservativa. Quindi non credo che la
valutazione diretta del prodotto scalare sia solo fumo negli occhi.
Nel caso specifico con tensione costante quello che credo e' che
esista una relazione fra l'energia della masserella e l'energia della
cordicella e che possiamo mettere in relazione il rapporto mu(x)/T
con la relazione costitutiva quasi impulso ed energia e l'integrale
del modulo quadro di u con l'energia potenziale. Il significato
di queste grandezze e' legato con l'equazione di continuita' che
esprime la conservazione dei momenti. Penso sia questo il motivo
per cui Fabri aveva consigliato di impostare il problema in termini
lagrangiani.
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Received on Thu Nov 18 2004 - 17:53:04 CET