Tetis ebbe a scrivere:
> [ ... ] fino a quando non ho riletto sulla tua nota di ieri la
> dimostrazione
> dell'ortogonalita' una specie di muro mi impediva di ritrovare quel
> risultato. Il motivo e' che non ho mai digerito ad un livello
> spicciolo e concreto quella dimostrazione. Ed ancora sto cercando
> questo.
Uno che ha scelto per nickname il nome della mamma di Achille, deve
pur avere il suo tallone, o no? :-)
Personalmente, pensare alle matrici simmetriche (e, in generale, alle
autoaggiunte rispetto ad un prodotto scalare) mi chiarisce
completamente l'ortogonalita'.
Io l'ho sempre vista in questo modo: quando scrivi la tua matrice
simmetrica A relativamente alla base dei suoi autovettori, trovi una
matrice diagonale A'. Il passaggio di tra A ed A', essendo una
similitudine tra matrici simmetriche, deve avvenire attraverso
matrici di passaggio ortogonali M^t=M^-1. Ne consegue che anche la
nuova base dev'essere ortogonale, dato che l'hai ottenuta con una
trasformazione ortogonale. Certo, questo non dimostra che la base di
autovettori di A esista, ma questo lo si dimostra a parte, per
induzione (mi pare).
> Quando ho ritrovato il teorema di Sturm Liouville quello che non ho
> capito e' il significato fisico del prodotto scalare.
Beh, il nostro caso e', in fondo, fortunato: essendo la funzione peso
proprio la densita' di massa mu[x], gli integrali di questo PS
sembrano proprio una pesatura, una media di tipo baricentrico. Il
fatto e' che, come giustamente osservi tu, non tutte le parti della
lagrangiana si possono scrivere con quest'unico prodotto scalare, ma
soltanto la parte cinetica (quella con la derivata seconda
temporale).
Ora che mi ricordo, pero', c'e' una situazione simile in Meccanica
Analitica. Mi pare che le frequenze delle piccole oscillazioni w^2 si
potevano scrivere come rapporti di due *forme quadratiche* w^2=K/M :
la parte potenziale fratto la parte cinetica. E non sono proprio due
distinti prodotti scalari questi? Mi sa quindi che non si puo'
scrivere la lagrangiana con *un solo* prodotto scalare, e conservare
qualche senso fisico allo stesso.
>Penso sia questo il motivo per cui Fabri aveva consigliato di
impostare il problema in termini lagrangiani.
Beh, questo consiglio, proprio come quello di "tenersi leggeri a
pranzo", vale sempre, anche se non sei in dieta :-)
Michele
P.S.
Notavo, en passant, che a questo problema ci stiamo interessando
soltanto noi quattro "pisani". Se anche Paolo Cavallo proviene
dall'ateneo pisano, allora siamo in cinque.
--
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Received on Thu Nov 18 2004 - 21:42:20 CET