l 18 Nov 2004, 21:42, Michele Andreoli <m.andreoli_at_tin.it> ha scritto:
> Tetis ebbe a scrivere:
>
> > [ ... ] fino a quando non ho riletto sulla tua nota di ieri la
> > dimostrazione
> > dell'ortogonalita' una specie di muro mi impediva di ritrovare quel
> > risultato. Il motivo e' che non ho mai digerito ad un livello
> > spicciolo e concreto quella dimostrazione. Ed ancora sto cercando
> > questo.
>
> Uno che ha scelto per nickname il nome della mamma di Achille, deve
> pur avere il suo tallone, o no? :-)
:-) non rispondero' a questa domanda. Ti dico solo che ho nozione di
almeno sette usi connessi alla parola tetis finora:
Thetis, Thetys, Teti, Tetide, teti, Tetis. Ed una derivazione
anglosassone
da teti: tetis. La madre di Achille va sotto il
nome di Thetis ovvero Tetide. La bisnonna di Achille: Thetys ovvero
Teti e' insieme con Oceano la sola titanessa che non rivolse guerra
a Zeus. Tetis e' anche il nome d'uso comune con cui viene anche
indicata la luna di Saturno che Giovanni Cassini dedico' alla dea
Thetys.
Tetide, ovvero Thetis e' la piu' famosa fra le cinquanta nereidi, ma le
storie sul suo conto sono molteplici. Le nereidi, figlie di Nereo e
Doride
sono 50 secondo Esiodo e secondo Omero, ma Esiodo, nella sua teogonia,
ne aggiunge una. E sarebbero 51. Un poco di incertezza come sul numero
degli
Stati Uniti. Ecco le quarantanome sorelle citate da Omero.
E come si chiamava la cinquantunesima aggiunta da Esiodo?
Cimotoe, Speio, Glauconome, Nausitoe, Alie, Erato, Sao, Anfitrite,
Eunice,
Teti, Eulimene, Agave, Eudore, Doto, Ferusa, Galatea, Actea,
Pontomedusa,
Ippotoe, Lisianassa, Cimo, Eione, Alimede, Plessaure, Eucrante, Proto,
Calipso,
Panope, Cranto, Neomeris, Ipponoe, Ianira, Pol�nome, Autonoe, Melite,
Dione,
Nesea, Dero, Evagore, Psamate, Eumolpe, Ione, Dinamene, Ceto e Limnoria
> Personalmente, pensare alle matrici simmetriche (e, in generale, alle
> autoaggiunte rispetto ad un prodotto scalare) mi chiarisce
> completamente l'ortogonalita'.
Devo dir la verita' a me sembra almeno un poco una riformulazione
tautologica. Noi sappiamo che esiste una base ortonormale
rispetto al prodotto scalare dello spazio di Hilbert originale. Il fatto
che poi sfruttando la simmetria per traslazioni temporali
possiamo tradurre l'azione dell'hamiltoniana in termini di
un operatore di Liouville non mi sembra del tutto automatico,
e non mi sembra privo di contenuto fisico.
> Io l'ho sempre vista in questo modo: quando scrivi la tua matrice
> simmetrica A relativamente alla base dei suoi autovettori, trovi una
> matrice diagonale A'. Il passaggio di tra A ed A', essendo una
> similitudine tra matrici simmetriche, deve avvenire attraverso
> matrici di passaggio ortogonali M^t=M^-1. Ne consegue che anche la
> nuova base dev'essere ortogonale, dato che l'hai ottenuta con una
> trasformazione ortogonale. Certo, questo non dimostra che la base di
> autovettori di A esista, ma questo lo si dimostra a parte, per
> induzione (mi pare).
Nelle forme piu' avanzate del teorema spettrale non dici affatto
che esiste la base di autovettori, esistono degli autovettori
impropri. Tuttavia nel caso dell'operatore di Liouville su supporto
compatto lo spettro diventa discreto e gli autovettori, come si puo'
dimostrare grazie ad una tecnica che fa uso dell'esistenza del
significato
geometrico del raggio spettrale sono propri. Cioe' quando un osservabile
autoaggiunta ha solo autovalori discreti allora ha solo autovettori
propri.
> > Quando ho ritrovato il teorema di Sturm Liouville quello che non ho
> > capito e' il significato fisico del prodotto scalare.
>
> Beh, il nostro caso e', in fondo, fortunato: essendo la funzione peso
> proprio la densita' di massa mu[x], gli integrali di questo PS
> sembrano proprio una pesatura, una media di tipo baricentrico. Il
> fatto e' che, come giustamente osservi tu, non tutte le parti della
> lagrangiana si possono scrivere con quest'unico prodotto scalare, ma
> soltanto la parte cinetica (quella con la derivata seconda
> temporale).
Attenzione nella lagrangiana compare non la derivata seconda
ma la derivata prima rispetto al tempo e compare con un quadrato.
Per fortuna. Perche' il quadrato di una delta sarebbe intrattabile.
Nel nostro caso e' un bene che se le derivata prime sono funzioni
al piu' discontinue e limitate, come sono per esempio le autofunzioni
trovate da Bruno, allora l'energia cinetica e l'energia potenziale sono
ben definite. Se comparisse una delta allora avremmo il quadrato di
una delta che e' un oggetto praticamente intrattabile. Ora quello che
non sono ancora riuscito a capire e' se l'evoluzione temporale di
una condizione iniziale con spigolosita' limitate conserva questa buona
caratteristica di regolarita'.
> Ora che mi ricordo, pero', c'e' una situazione simile in Meccanica
> Analitica. Mi pare che le frequenze delle piccole oscillazioni w^2 si
> potevano scrivere come rapporti di due *forme quadratiche* w^2=K/M :
> la parte potenziale fratto la parte cinetica. E non sono proprio due
> distinti prodotti scalari questi? Mi sa quindi che non si puo'
> scrivere la lagrangiana con *un solo* prodotto scalare, e conservare
> qualche senso fisico allo stesso.
Questo mi sembra un discorso saggio da studiare.
Dunque il teorema dice che date due forme quadratiche di cui una
definita positiva esiste una diagonalizzazione simultanea in termini
di modi normali. La diagonalizzazione pero' non puo' essere effettuata
tramite una trasformazione ortogonale. Richiede invece una similitudine.
D'altra parte se la diagonalizzazione simultanea potesse avvenire per
congruenza la matrice cinetica e la matrice delle costanti elastiche
essendo
simmetriche dovrebbero commutare, cosa che non e' generalmente vera.
La diagonalizzazione
simultanea avviene tramite un operatore U tale che tr(U) * U = 1/ M'
dove M'
e' la matrice diagonale ottenuta diagonalizzando la matrice di massa.
Espressamente risulta che U = tr (L) [1/sqrt(M')] O dove L ed O sono
operatori unitari. Tuttavia non ho capito perfettamente come si
specializza
questo discorso al nostro problema. Tieni presente che interviene un
operatore
della forma: (d/dt)*m(x)(d/dt) + (d/dx)*t(x)(d/dx) + k(x). Dove ho
indicato
con * l'aggiunto. Se scegliamo le autofunzioni di d/dt troviamo
l'operatore di Sturm-Liouville.
Chi svolge la funzione di M chi di K? Con una M diagonale, una
K tridiagonale ed un limite tutto da capire. A me sembra che
potremmo vedere il problema come caso limite di masserelle legate
da molle vicine, ma questo porta ad una specializzazione del problema
generale di cui dovremmo studiare le proprieta' specifiche considerando
appunto le correnti conservate del problema lagrangiano.
> >Penso sia questo il motivo per cui Fabri aveva consigliato di
> impostare il problema in termini lagrangiani.
>
> Beh, questo consiglio, proprio come quello di "tenersi leggeri a
> pranzo", vale sempre, anche se non sei in dieta :-)
>
> Michele
>
> P.S.
> Notavo, en passant, che a questo problema ci stiamo interessando
> soltanto noi quattro "pisani". Se anche Paolo Cavallo proviene
> dall'ateneo pisano, allora siamo in cinque.
>
> --
> Signature under construction.
>
--
Posted via Mailgate.ORG Server - http://www.Mailgate.ORG
Received on Fri Nov 19 2004 - 22:01:16 CET