Il 15 Nov 2004, 20:30, Elio Fabri
<mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> Tetis ha scritto:
> > Sarei curioso. Ad ogni modo il teorema di Weierstress Stone e' un
> > teorema da Fisico. Ricordo che quando il prof G.M. li' a Pisa lo
> > enuncio' durante le esercitazioni di metodi ebbi un sobbalzo di gioia.
> > Lo conoscevo prima ancora di averlo visto enunciare. Ritengo che
> > capiti con pochi teoremi al giorno d'oggi.
> Ma insomma che dice 'sto teorema?
Vorrei avere un libro sottomano per controllare di enunciarlo corretta-
mente. Provo secondo quel che mi ricordo, stai certo che mancher� pi� di
met� del teorema, in particolare le condizioni sui domini: sia A
un'algebra di funzioni su un aperto di uno spazio topologico (che mi
pare dovrebbe essere haussdorf e localmente compatto) sia A' una
sottoalgebra che contiene l'unit� e che separa i punti [cio� per
ogni x diverso da y esiste f di A': f(x)<>f(y)] allora
A' � denso in A rispetto alla topologia della
convergenza uniforme.
Ovvero data una funzione f per ogni eps>0 esistono
dei coefficienti c1,c2,...,cn tali che
|c1 f1 + ... cn fn - f| < eps. Dove la norma e' intesa
come il sup della funzione argomento al variare dei punti
sul dominio di definizione delle funzioni.
Come vedi il teorema nudo e crudo non permette
di dire subito che un sistema � completo, o che
dei vettori in H sono indipendenti, permette solo
di fare un primo passo nella elaborazione dei
teoremi necessari.
> Quanto a G.M., credo di sapere chi e' ;-)
> Quanto al mio metodo, eccolo.
> Ho modificato il problema trasformandolo in uno senza singolarita'.
> Assumo che la corda abbia una densita' mu(x) variabile con x, che poi
> nel caso originario sarebbe mu+M*delta(x)
> Assumo anche che la molla sia distribuita inmodo continuo, con
> constante k(x), che sarebbe in origine K*delta(x).
Ed a questo ero arrivato. In pi� mi ero permesso di supporre che T
potesse essere variabile, e la soluzione dell'equazione associata mi
porta a trovare una curiosa simmetria nel sistema infatti la variabilit�
di una delle tre funzioni: mu(x), k(x), T(x) risulta ridondante, nel
senso che con l'ipotesi che una delle tre sia sempre positiva (T(x) ad
esempio) possiamo dividere tutti i coefficienti dell'equazione alle
derivate parziali per la funzione positiva e ricondurci ad una famiglia
"prototipo" di equazioni diff. con uno dei tre coefficienti pari ad
1. Inoltre nel caso che k/T e mu/T sono costanti non nulle
otteniamo le equazioni di un campo di Klein-Gordon con massa
sqrt(k/T) e velocit� sqrt(mu/T).
> Fatto questo, l'eq. diff. per una soluzione di
frequenza w e':
>
> -T*y" + k(x)*y = w^2*mu(x)*y
Esatto.
> ossia un'eq. "simil-Schroedinger", comunque un
problema di
> Sturm-Liouville.
Qui invece siccome non mi ricordavo le ipotesi del teorema di
Sturm-Liouville non ero riuscito ad andare oltre, cio� trovavo che c'�
un sistema completo sulla base del test "occhiometrico", che posso
modificare con continuit� la condizione iniziale sulla derivata in modo
da muovere con continuit� gli infiniti nodi della soluzione. Con questa
fisarmonica trovo quindi funzioni con il numero di nodi voluto e con le
condizioni di bordo cercate.
Mentre non trovo la misura spettrale del sistema. In accordo con il
teorema spettrale esiste una misura a valori di proiezione tale che
l'operatore H (l'hamiltoniana) agisce moltiplicativamente sulle
componenti proiettate (con indice di proiezione gli autovalori di
H) delle funzioni test. Cioe' una misura che rappresenta proiettivamente
H. Da qui sospetto che dovrebbe esistere un prodotto scalare, costruito
dalla chiusura di questi proiettori, per il quale autofunzioni relative
ad autovalori distinti sono ortogonali.
Ricordo d'altra parte che in una delle sue versioni il problema di
Sturm-Lioulille pu� essere risolto costruttivamente mediante una
norma ed una trasformazione contrattiva rispetto a questa norma.
Mi sembra di ricordare che il trucco sia essenzialmente il solito
che si usa per dimostrare il teorema di esistenza ed unicita' della
soluzione di alcune equazioni differenziali lineari: quello di costruire
una trasformazione integrale usando i coefficienti, un'idea che
dovrebbe portare il nome di Picard. Dunque procediamo con le equazioni
di Picard? Dati i coefficienti trovare il prodotto scalare.
> Per quest'eq. non ci sono problemi, ma poi bisogna
passare al limite,
> e qui mi comporto da fisico ;-)
> ------------------------------
> Elio Fabri
> Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
> ------------------------------
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Received on Tue Nov 16 2004 - 20:06:11 CET