Il 12 Nov 2004, 18:03, "Bruno Cocciaro"
<b.cocciaro_at_comeg.it> ha scritto:
L'idea e' che
> si abbiano diverse scale temporali: sulla scala "veloce" tutti i modi
> risonanti oscillano (ad una qualsiasi ampiezza) alla loro frequenza che
> assume tutti i valori dati dalle soluzioni di cotan(s)=s/rm-rK/(4*s); sulla
> scala "lenta", si ha che la (lenta) variazione della costante elastica
> "costringe" i modi a cercare la frequenza giusta (cioe' la K giusta, cioe',
> vista la supposta dipendenza di K dall'ampiezza dell'oscillazione, l'energia
> giusta) cioe' la frequenza che rende molla e corda disaccoppiate cosi' che
> si smorzi anche la variazione lenta di K (cioe' l'ampiezza dell'oscillazione
> smette di variare, cioe' quel dato modo si fissa ad una data energia).
Avevo scritto questa risposta Domenica, l'ho un poco rivista, ora va.
Se ho capito bene ti stai ponendo il problema della veridicita' del
modello lineare come modello della realta'. E stai proponendo uno sketch
di intuizione di un meccanismo di auto-sintonizzazione della costante e-
lastica. Oppure stai tentando una via maieutica per giustificare la bon-
ta' della scelta di considerare solamente i modi lenti del sistema?
> In sostanza il modo pompa energia sulla corda o succhia energia dalla corda
> a seconda che l'energia del modo sia maggiore o minore di quella "giusta",
> cioe' di quella che renderebbe corda e molla disaccoppiate.
Mi sembra che qui fai confusione. Quello della corrente di energia e' un
tema che si presenta gia' in ambito di approssimazione lineare.
Esistera'
un'equazione di continuita' per la densita' di energia che garantira'
la conservazione dell'energia complessiva della cordicella. Se pero' non
pretendi tanto:
personalmente un tema che mi sono posto spesso e' che fine fanno le fre-
quenze che non sono di risonanza? Un caso modello su cui studiare
questa situazione si presenta quando consideriamo una luce che attra-
versa una cavita' con due superfici semiriflettenti. Si suppone un caso
ideale: le pareti interne hanno riflettivita' r e trasmissivita' t,
ester-
namente riflettivita' r_e e trasmissivita' t_e. Non c'e' assorbimento,
cioe' r e t sono complementari. E' una situzione fittizia, vogliamo
studiare un solo campo con condizioni al bordo che confinano il
problema.
Ti accorgi che le ampiezze passanti dipendono dall'interferenza nella
cavita'. In questo caso uno puo' chiedersi cosa capita quando la costan-
te di riflessione viene aumentata fino a valori sempre piu' prossimi ad
1. Puoi molto semplicemente sommare le fasi una dopo l'altra moltipli-
cando per i coefficienti di riflessione e di trasmissione. Trovi da
som-
mare una serie geometrica. Risulta che la quantita' di energia catturata
e' massima per le risonanze ed e' modulata per la frequenze prossime al-
la risonanza da una funzione decrescente di delta_k. Questa e' la situa-
zione stazionaria in cui si stabilisce per costruzione un'equilibrio fra
l'energia immessa dall'esterno e l'energia che sfugge dalla cavita'.
Tut-
tavia esistono tante questioni interessanti da studiare nelle fasi
inter-
medie e quando l'alimentazione non e' una fase stazionaria.
Quello che trovi e' che ancora devi andare a sommare le fasi su un
diagramma di Argand e sei ancora nella situazione in cui tutte le fasi
sono multiple di una fase costante. Siamo in una situazione analoga al
caso dell'oscillatore armonico quantistico, o al caso di cui ci siamo
occupati in un altro post: il caso in cui volevamo conoscere
l'evoluzione
dell'energia cinetica in un punto della corda elastica che non fosse un
punto estremo, in un tempo che non fosse multiplo intero del periodo.
Anche in questo caso, nei limiti in cui possiamo considerare la potenza
2N del coefficiente di riflessione confrontabile con l'unita' si verifi-
cano genericamente le condizioni per applicare il teorema del limite
centrale: i contributi danno una somma che si comporta come una variabi-
le aleatoria gaussiana con una larghezza quadratica proporzionale al nu-
mero di riflessioni Poi fase^N tende a zero quando N tende ad infinito e
la somma si stabilizza.
Per i modi risonanti o quasi (k poco diverso da 2pi/L) la situazione e'
certamente differente, fin dalle primissime fasi di alimentazione l'am-
piezza dei modi cresce linearmente e coerentemente, la potenza riflessa
cresce pure lei linearmente, fino a quando non si stabilisce un equili-
brio fra la potenza immessa e la potenza riflessa. Se invece k non e' di
risonanza l'energia somministrata risulta ancora, per costruzione in
bilancio con la potenza trasmessa e la potenza riflessa. Ora le fasi
riflesse danno luogo entro la cavita' ad un segnale molto meno regolare
che possiamo andare a valutare in funzione del tempo e del punto ed an-
cora troviamo che il comportamento in uno stesso punto di modulazioni di
ampiezza per valori di k molto vicini possono dare luogo a risposte
dall'aspetto completamente casuale. Questo succede per via della dipen-
denza polinomiale dal numero di riflessioni.
> Cioe' le equazioni del moto scritte nei precedenti post sono solamente le
> equazioni del moto "veloce". Quello che sto supponendo e' che la dinamica
> lenta non sia stata presa in considerazione dalla lagrangiana.
Se dici la dinamica in regime non dissipativo posso essere d'accordo
per meta'. Cioe' stiamo considerando le equazioni dinamiche del moto
del sistema elastico nella situazione astratta in cui il moto si svolge
rapidamente rispetto all'instaurarsi delle dissipazioni ed in cui tutte
le dinamiche di trasferimento di energia sono lineari ovvero non mesco-
lano k differenti gli uni dagli altri. In altri termini stiamo studiando
i primissimi momenti della dinamica. Pero' vedi che dipende dalle situa-
zioni perche' potrebbero esistere sistemi in cui la dissipazione puo'
essere considerata davvero nulla. Eccetto che... potrebbe essere causata
da eventi singolari in cui si producono altri campi, oppure le equazioni
lineari non sono piu' applicabili ed il trasferimento di energia avviene
entro lo stesso campo, ma fra modi che prima erano ortogonali.
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Received on Tue Nov 16 2004 - 22:45:21 CET