Re: Un tappo di sughero

From: Bruno Cocciaro <b.cocciaro_at_comeg.it>
Date: Fri, 12 Nov 2004 01:26:08 +0100

"Elio Fabri" <mc8827_at_mclink.it> wrote in message
news:cn0gne$ufv$1_at_newsreader1.mclink.it...
> Scusate se non seguo la discussione, ma intervengo seguendo un mio
> filo...
> E' che faccio fatica a seguire e non ho tempo.
> A Bruno direi che della mia ortogonalita' sono ormai sicuro.
> Se non l'hai trovata, puo' essere solo questione di conti, tipo
> formule di prostaferesi o simili.

Si' si', avrai notato che nel precedente post segnalavo che ho finalmente
trovato l'errore.

> Sono anche sicuro della completezza, sebbene non sappia (o abbia
> dimenticato) che cosa dice il teorema di Weierstrass-Stone.
> Ci sono arrivato a modo mio, per una strada non rigorosa (da
> fisico :) ).

Benissimo, e comunque la completezza a me pare che si veda "a occhio",
insomma, sarebbe veramente strano se quel set di funzioni non risultasse
completo per le funzioni pari.

[...]

> Conseguenza fisica: l'energia oscilla tra pallina e corda, non c'e'
> nessun trasferimento irreversibile.

Bene, e' proprio in questi trasferimenti di energia che io trovo la parte
decisamente interessante del problema, che e' poi il motivo per il quale
volevo assolutamente risolverlo una volta che l'hai proposto: qua si
sarebbero potute vedere le cose, il mio tappo
di sughero e' certamente piu' problematico da trattare (ma non impossibile
forse, e forse, risolto questo, si saprebbe anche dove andare a cercare:
funzioni di Bessel con una cuspide nell'origine ... modi pari e dispari,
alcuni con l'origine ferma, gli altri no ... e comunque il caso veramente
interessante da risolvere non e' il bidimensionale).

Detti
s=k*(l/2)
rm=l*(mu/M)
rK=l*(K/T)

si ha che se

rm*rK=(pigreco)^2

allora s=pigreco/2 da' il primo numero d'onda (il fondamentale) cioe' la
prima soluzione di
cotan(s)=s/rm-rK/(4*s).
Chiamiamo s0 tale valore:
s0=pigreco/2
L'autofunzione associata a tale modo e' derivabile in 0, cioe' non c'e'
interazione fra corda e molla e questo non e' assurdo in quanto la frequenza
di oscillazione della corda, om0, che vale
om0=(pigreco/l)*(T/mu)^.5,
nelle condizioni suddette, cioe' rm*rK=(pigreco)^2, coincide con la
frequenza di risonanza del sistema molla-massa: (K/M)^.5.
Se andiamo a calcolare l'energia Em associata alla molla quando viene
eccitato solo questo modo si ottiene, detta A l'ampiezza delle oscillazioni
della massa M:
Em=(1/4)*[(T/l)*A^2]*(rK+(4/rm)*s^2)
che, imponendo le condizioni s=s0=pigreco/2 e rm*rK=(pigreco)^2 assume la
forma
Em=[(T/2l)*A^2]*rK.

Ora
*** immaginiamo che la costante elastica della molla non sia costante***
immaginiamo che sia:
K = h^2 / (M*A^4) (E1)
con h costante data.

E' chiaro che tale ipotesi non ha tanto senso fisico, se K dipendesse
dall'ampiezza delle oscillazioni cambierebbe tutto il problema, ma
immaginiamo ad esempio un cambiamento molto lento, immaginiamo che la corda,
oltre ad interagire nella maniera analizzata, pian pianino ad ogni
oscillazione muti le caratteristiche della molla indurendola o ammosciandola
in maniera tale che "localmente", cioe' quando la molla oscilla alla
ampiezza A, la sua K sia data dalla legge suddetta. Naturalmente se la molla
riescisse a trovare una frequenza propria di oscillazione tale da annullare
la sua interazione con la corda (cioe' se la molla riuscisse ad "accordarsi"
con la corda) allora la corda smetterebbe di indurire la molla che potrebbe
finalmente continuare ad oscillare senza che la corda muti piu' la sua
costante elastica.

Abbiamo gia' visto che se
rm*rK=(pigreco)^2 (E2)
allora nel modo fondamentale non c'e' interazione corda molla.
La (E2), messa a sistema con la (E1) da':
A^2 = [(l*h)/(M*pigreco)] * (mu/T)^.5
e il calcolo dell'energia Em della molla, energia che possiamo chiamare Em0,
da':
Em0 = h * om0/2.

La (E2) non e' l'unica condizione per la quale si ha un modo risonante in
cui non c'e' interazione corda molla (quando vale la (E2) il modo risonante
non ha nodi, esiste pero' anche un modo risonante senza interazioni corda
molla dove la corda ha un nodo, poi uno dove ha due nodi ecc ...).
La condizione successiva si ottiene per rm*rK=(3*pigreco)^2, in generale se
rm*rK=[(1+2*n)*pigreco/2]^2 n=0,1,2,3 ... (E.3)
si riesce sempre a trovare un (e uno solo) modo risonante in cui non c'e'
interazione corda molla (cioe' una s che risolve l'equazione
cotan(s)=s/rm-rK/(4*s) per un valore in cui si annulla cotan(s)); quel modo
e' associato al numero d'onda, che chiamiamo sn, seguente:
sn = (1+2*n)*pigreco/2
e per quel modo sara' sempre vero che non c'e' interazione corda molla in
quanto la frequenza di oscillazione della corda sara' sempre uguale alla
frequenza di risonanza del sistema massa-molla, inoltre la corda avra' in 0
derivata nulla.
La (E.3), messa a sistema con la (E.1) da':
A^2 = [(l*h)/(M*(1+2*N)*pigreco)] * (mu/T)^.5
e il calcolo dell'energia della molla, energia che possiamo chiamare Emn
da':
Emn = h * om0/2 + n * h * om0.

Capisco che c'e' l'ipotesi ad hoc della costante elastica che varia con
l'ampiezza proprio in quella maniera, pero' mi pare un po' meglio di
postulare l'arrivo della manna dal cielo nel momento opportuno (qua si
postula che il padre eterno le molle le ha fatte in quella maniera, pero',
come dire, se si compassero proprio in quella maniera vorrebbe dire che le
ha fatte proprio cosi').
Per un atomo non saprei come definire la "costante elastica", tutta la
trattazione sarebbe da rivedere ovviamente, comunque e' certo che la
frequenza di risonanza dipende dal raggio dell'orbita (e' propozionale a
e^2/(m*r^3)); ci sarebbe da vedere se l'andamento 1/r^3 e' "giusto" in quel
caso.
Ad ogni modo, gli esempi fanno quello che possono, in questo modello e' vero
che le molle in movimento a contatto con le corde perdono energia per
trasferirla alle corde ferme (anche le corde in movimento perdono energia
per trasferirla alle molle ferme), da cio' ***non segue*** che le molle non
possano trovare degli stati stazionari (li trovano proprio grazie al fatto
che la frequenza di risonanza delle molle varia al variare della loro
ampiezza di oscillazione).
Quando proposi il tappo di sughero pensavo proprio a qualcosa del genere.
Qua la molla riesce a "trovare" la maniera per "accordarsi" con la corda.
Per quale motivo l'atomo classico non dovrebbe trovare la maniera per
"accordarsi" con il campo?

> Elio Fabri

Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Received on Fri Nov 12 2004 - 01:26:08 CET

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