Re: Un tappo di sughero

From: Bruno Cocciaro <b.cocciaro_at_comeg.it>
Date: Fri, 12 Nov 2004 13:32:02 +0100

"Tetis" <gianmarco100_at_inwind.it> wrote in message
news:155Z185Z25Z64Y1100197278X17229_at_usenet.libero.it...

> Ne segue che la relazione corretta
> e': tan(k_i l/2) = 2k_i /[M/mu k_i^2 - K/T]. Mentre tu
> trovavi: cotan(ki*l/2)=(M/mu)*(ki/2)-(K/T)*(1/(2*ki))
> sono uguali no?

Mi pare proprio di si'.

> Allora il prodotto scalare che fa al nostro scopo e':
>
> Int(-l/2,l/2) f(x)g(x) dx + M/mu f(0)g(0).
> e la costante di normalizzazione risulta:
>
> A(k_i) = 1/sqrt {l/2 + [(M/mu) + (K/T)(1/k^2)] sen^2(kl/2)}
>
> Ti risulta o non ti risulta che e' quello che diceva Fabri?

Elio non si e' espresso per quanto riguarda la costante di normalizzazione,
per quanto riguarda il prodotto scalare mi pare che ora otteniamo tutti e
tre lo stesso risulato.
Rispetto a quello precedentemente postato da Elio, io, nell'ultima versione,
ho preferito mettere un (2/l) a fattore,
(2/l) * \int_0^{l/2} f(x)*g(x) dx + (1/rm)*f(0)*g(0),
(ne segue che le nostre costanti di normalizzazione differiranno per un
fattore l^.5 ).

Il problema e' la costante di normalizzazione dove mi pare ci sia ancora un
altro fattore 2 di differenza fra il tuo risultato e il mio.
Ho rifatto, avevo messo un 4 al num invece che al den, ora ottengo:

Ni=SQRT (1/2)* SQRT { 1+(1/rm)*[sin(si)]^2 + (1/4)*rK* [sin(si)/si]^2 }.

Il mio Ni dovrebbe coincidere con il tuo 1^.5/A(k_i) (cioe'
(elle)^.5/A(k_i)).
ma non coincidono. Conciderebbero, mi pare, se tu ottenessi
A(k_i) = 1/sqrt {l/2 + (1/2)*[(M/mu) + (K/T)(1/k^2)] sen^2(kl/2)}.

Il mio Ni dovrebbe essere finalmente corretto; il risultato si puo'
controllare nel caso in cui rm*rK=pigreco^2.
In tale caso si ottiene che la prima autofunzione e' relativa al valore
s=pigreco/2, cioe':
EX(x)=sin[(pigreco*|x|/l-pigreco/2)]
e' autofunzione. La sua norma, data da,
(2/l) * \int_0^{l/2} EX(x)*EX(x) dx + (1/rm)*EX(0)*EX(0)
si calcola facilmente essendo il primo addendo pari a
(2/l)*(uno/2)*(l/2)=0.5 e il secondo addendo pari a 1/rm.
tale norma deve essere uguale a (Ni)^2 una volta che si sostituisca alla si
il valore pigreco/2:
osserviamo in effetti che:
(Ni)^2=0.5*(1+(1/rm)+(1/4)*rK*4/pigreco^2)
sostituendo ora ad rK il valore pigreco^2/rm si ottiene:
(Ni)^2=0.5*(1+(1/rm)+(1/rm))=0.5+1/rm
come dovrebbe essere.
Il controllo si puo' poi facilmente generalizzare alle autofunzioni relative
al numero d'onda s=(.5+s)*pigreco in tutti i casi un cui valga una qualsiasi
relazione rm*rK=(1+2*s)*pigreco^2 con s=0,1,2,... e il controllo mi sembra
dia sempre esito positivo, quindi direi ci si possa fidare abbastanza sel
coefficiente di normalizzazione Ni riportato sopra.

> Adesso considera la funzione sin[pi/l (|x|-l/2)] e calcola
> i prodotti scalari con le funzioni della base. Ne risultano
> i numeri

Ma perche' vuoi sviluppare questa funzione in serie delle EXi(x)?
E' chiaro che se sviluppi una funzione derivabile in serie di funzioni non
derivabili otterrai che i contributi relativi alle alte frequenza non
saranno trascurabili.
La sin[pi/l (|x|-l/2)] e' una forma d'onda che non ha alcun interesse
specifico per il problema in questione, o meglio, lo ha solamente nel caso
in cui risulti essa stessa risulti autofunzione (nel qual caso lo sviluppo
in serie e' chiaramente banale), cioe' quando rm*rK=pigreco.

Nel post che ho scritto ieri sera ho analizzato proprio queste funzioni
derivabili e cosa si potrebbe dire quando esse fanno parte dell'insieme di
autofunzioni.

Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Received on Fri Nov 12 2004 - 13:32:02 CET

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