sulla composizione delle trasformazioni di Lorentz

From: Gary <caysercela_at_katamail.com>
Date: 11 Nov 2004 08:25:34 -0800

Salve a tutto il NG.
E' da poco tempo che mi sono 'lanciato' a studiare le propriet� di
questo gruppo particolare e siccome non ho dei validi testi di
riferimento sotto mano a cui poter attingere chiedo cortesemente il
vostro aiuto.
In un post precedente ho appreso che il gruppo di Lorentz si puo'
scrivere in forma generale nel modo seguente :

siano x , v vettori di R3 nel sistema di riferimento inerziale
solidale con O e t il tempo (dove x � il solito vettore di posizione e
v � la velocit� relativa di O' risp. O):

x'(v) = x + (gamma(v) - 1)*[(x,v)/|v|^2]*v - gamma(v)*t*v

t'(v) = gamma(v)*(t - (x,v)/c^2)

dove

gamma(v) = (1 - |v|^2/c^2)^(-1/2) e (.,.) � il solito prodotto scalare
euclideo


Inoltre sempre in quel messaggio era stato scritto che la
trasformazione sulle coordinate spaziali poteva essere riscritta in
una forma equivalente :

x'(v) = L(v)*x - t*gamma(v)*v

dove

L(v) � una particolare matrice quadrata di ordine 3 che ha per
autovalori : gamma(v), 1 , 1
Si era detto che gli autovettori di gamma(v) erano i vettori paralleli
alla velocit� v , mentre gli autovettori di 1 erano i vettori
perpendicolari a v
Fin qui nulla di strano , ho appurato di persona che i conti tornano e
ho constatato di persona che queste trasformazioni mantengono
invariata la forma quadratica |x|^2 - c^2*t^2 e rispettano altre
proprieta' inerenti.
Adesso vi presento la mia domanda.

Supponiamo di prendere due vettori v , w in R3 e di comporre le
trasformazioni lorentziane sulle coordinate spaziali utilizzando la
rappresentazione appena citata.
(mi scuso in anticipo se la notazione utilizzata puo' risultare
ambigua)

x'(v) � x'(w) = x'(v)(x'(w),t'(w)) =

= L(v)*x'(w) - gamma(v)*t'(w)*v =

= ... =

= L(v)*L(w)*x + gamma(v)*gamma(w)*[(x,w)/c^2]*v -gamma(w)*t*(L(v)*w +
gamma(v)*v)

I conti mi danno questo risultato ...spero che sia giusto !
Facendo un piccolo confronto tra quest'ultima espressione (che � stata
ottenuta per composizione ) e quella generale data in partenza si nota
che in entrambe il tempo t compare nel secondo addendo.
Allora la domanda che pongo � questa :

esiste un particolare vettore u in R3 tale che :

gamma(u)*u = gamma(w)*(L(v)*w + gamma(v)*v)

e tale che :

L(u)*x = (L(v)*L(w)*x + gamma(v)*gamma(w)*[(x,w)/c^2]*v) ?


La domanda � motivata dal fatto che se io compongo tramite Lorentz due
sistemi di riferimento inerziali (O' e O'') tali per cui O' si muove
di moto rettilineo uniforme rispetto ad O e O'' si muove di moto
rettilineo uniforme rispetto a O', allora quello che mi aspetto � che
anche il sistema di riferimento O'' si muova di moto rettilineo
uniforme rispetto ad O' e il vettore u dovrebbe rappresentarne le
velocit�.
Spero di essere stato chiaro.
In definitiva se esiste questo vettore velocit� u ottenibile mediante
composizione di moti rettilinei uniformi , qualcuno saprebbe indicarmi
se � stata cercata e trovata una formula per determinarlo.

Grazie in anticipo a tutti.
Received on Thu Nov 11 2004 - 17:25:34 CET