Re: Un tappo di sughero

From: Bruno Cocciaro <b.cocciaro_at_comeg.it>
Date: Fri, 5 Nov 2004 00:31:13 +0100

"Tetis" <gianmarco100_at_inwind.it> wrote in message
news:155Z185Z25Z64Y1099578966X14604_at_usenet.libero.it...
> Il 04 Nov 2004, 00:52, "Bruno Cocciaro"
<b.cocciaro_at_comeg.it> ha scritto:
>
> > > Questo vincolo � eccessivo.
> >
> > A me sembra necessario (ovviamente nel caso in cui la massa M si
consideri
> > puntiforme)
>
> Ho capito che ti sembra necessario, ma e' perche' non hai familiarita'
> con l'approssimazione di funzioni regolari a tratti. Usando una base di
> funzioni lisce riesci ad approssimare le spigolosita'.

Ah certo, ma il punto e' che la base a funzioni derivabili non va bene in
quanto non e' una base fatta di soluzioni dellle equazioni del moto.
Provo a ripetere entrando meglio nei dettagli.

Le equazioni del moto sono:
-mu _at_^2ETA(x,t)/_at_t^2+T @^2ETA(x,t)/_at_x^2=0 (EQ1)
e
M _at_^2ETA(0,t)/_at_t^2-2T ( @ETA(0+,t)/_at_x - @ETA(0-,t)/_at_x)+K ETA(0,t)=0 (EQ2).

La ETA e' definita fra -l/2 e l/2.
Vogliamo esprimere la ETA(x,t) come combinazione lineare di
ETAi(x,t)=EXi(x)*ETi(t) dove con ETAi intendiamo, per ogni i, una soluzione
delle equazioni del moto.
Certamente le EXi(x)=sin(ki*(x-l/2)) con ki=i*pigreco/l, i naturale,
costituiscono una base per le funzioni definite fra -l/2 e l/2, pero' ... se
proviamo ad imporre EQ1 troviamo, a parte una eventuale fase,
ETi(t)=cos(omi*t) con omi=ki*(T/mu)^(0.5).
Passando ad imporre EQ2 otteniamo che per i valori pari di i le ETAi(x,t)
soddisfano l'equazione essendo nulli tutti e tre gli addendi che compaiono a
sinistra di EQ2. Cioe' le funzioni dispari della base suddetta soddisfano
alle equazioni del moto.
Per le i dispari (cioe' per le funzioni pari della base) la situazione e'
nettamente diversa. Si ha:
M _at_^2ETA(0,t)/_at_t^2=-M*(omi^2)*ETAi(0,t),
2T ( _at_ETA(0+,t)/_at_x - @ETA(0-,t)/_at_x)=0
quindi la ETAi(x,t) (con i dispari) risolve EQ2 solo se omi=(K/M)^(0.5),
cioe' se ki=[(mu*K)/((T*M))]. Essendo mu,K,T e M parametri fissi cio' vuol
dire che al massimo esiste un solo valore di i dispari che da' luogo ad una
ETAi che risolve EQ2 (cioe' l'unico valore di i che rende
ki=[(mu*K)/((T*M))], pero' in generale non ne esiste nemmeno uno). In breve
le ETAi con i dispari (cio� le funzioni pari della base) *non risolvono*
EQ2.
Ne segue che la generica ETA(x,t) deve essere intanto vista come somma della
sua parte pari+ parte dispari. Per la parte dispari come base vanno
benissimo le ETAi (con i pari) viste sopra. Per la parte pari si deve
trovare un'altra base. La base proposta da me e' la seguente:
ETAi(x,t)=sin[ki(abs(x)-l/2)]*cos(omi*t).
Imponendo EQ1 ed EQ2 si trovano le ki ammesse:
cotan(ki*l/2)=(M/mu)*(k/2)-(K/T)*(1/(2*k)) (EQ3).
Quindi in totale le ki ammesse sono quelle che risolvono la EQ3 (che servono
a definire le funzioni che danno la base per la parte pari della ETA) oltre
alle ki=i*pigreco/l con i pari (che servono a definire le funzioni che danno
la base per la parte dispari della ETA).
Si pongono comunque (almeno ai miei occhi) i problemi di cui parlavo qualche
post fa:
1) chi ci garantisce che le sin[ki(abs(x)-l/2)]*cos(omi*t) con ki date da
EQ3, costituiscono una base per la parte pari della ETA?
2) come si fa, data una qualsiasi ETA(x,t=0) pari, a trovarne i coefficienti
Ai dello sviluppo nelle sin[ki(abs(x)-l/2)]?

Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Received on Fri Nov 05 2004 - 00:31:13 CET

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