> Prima di tutto la relazione di ortogonalita'.
> Si scrive cosi':
>
> \int_0^{l/2} EXi(x)*EXj(x) dx + (M/(2*mu))*EXi(0)*EXj(0) = 0
E' certamente vera. Si considera il
vincolo sul bordo di integrazione.
Era un esercizio svolto su una lavagna del
dipartimento di Fisica vari anni fa 1992. Volevamo
capire cosa hanno di speciale le funzioni
trigonometriche con frequenze commensurabili rispetto
a quelle con frequenze incommensurabili. Avevo completamente rimosso.
Basta verificare la condizione del teorema di Weierstrass Stone per avere
un sistema completo su un intervallo.
> (la dipendenza da t non va considerata nell'ortogonalita).
Questo e' un punto delicato. Occorre lavorare un pochino sulla base
che hai proposto (sto rispondendo ad Elio, ma in questo frangente
mi rivolgo a Bruno). Infatti puoi dimostrare che siccome cos(om t) f(kx)
e' soluzione anche sen(om t) f(kx) e' soluzione. Per il semplice motivo
che c'e' invarianza per traslazione temporale. Ora se dimostri che la
parte spaziale e' un sistema completo per le funzioni pari rimane solo
da verificare che qualunque condizione iniziale puo' essere imposta
usando il sistema misto per le funzioni pari e le funzioni dispari. Per
questo
occorre considerare la derivata temporale delle funzioni cos(om*t) f(x) che
pero' non altera le f(x), l'unico effetto della derivata e' che cos(om*t) e
sen(om*t) si scambiano di posto ed interviene un segno ed un om.
Ma anche queste funzioni soddisfano la condizione di completezza
pur di tenere conto del segno e delle frequenze nella condizione di
Fabri. In conclusione per ogni condizione iniziale hai trovato un sistema
completo.
> Questo fa capire quale sara' la risposta alla domanda 2):
> sia f(x) una generica funzione pari: avrai
> f(x) = \sum ci*EXi(x) (+)
> con
> ci = \int_0^{l/2} f(x)*EXi(x) dx + sqrt(M/(2*mu))*f(0)*EXi(0)
> (A meno di qualche costante di normalizzazione, che non ho calcolato...).
> La (+) va dimostrata: se vale dimostra la completezza della base.
> Non ci ho provato, ma dovrebbe essere vero.
Aggiustando tutti i coefficienti se hanno bisogno di essere aggiustati
e' certamente vero. Come e' vero che la delta+ e' una funzione causale.
L'unico limite di questa base e' lo stesso limite che hanno tutte le basi
ordinarie per le equazioni del moto. Il fatto che i coefficienti di sviluppo
siano sommabili non mette al riparo dall'eventualita' che i coefficienti
delle
derivate non siano sommabili. Questo significa che partendo da buone
condizioni di regolarita' spaziale e delle derivate puo' verificarsi
tuttavia
una condizione di singolarita' nel futuro del sistema. Condizioni di
singolarita'
per cui lo schema d'onda puo' risultare fuori dei limiti di applicabilita'.
Nello schema proposto da Bruno questa eccezione si presenta fin da subito
gioco forza a causa della singolarita' in corrispondenza della massa.
> Poi bisognerebbe riprendere il filo... Perche' avevo proposto questo
> conto?
Bruno stava parlando di un atomo in una scatola che dissipa energia
e si chiedeva se non sia che tenendo conto dei campi non ci si possa
spiegare la stabilita' dell'atomo. La sua idea era che dopo un poco che
dissipa energia potrebbe succedere che l'elettrone comincia a ricatturarne
senza poter mai cadere sull'atomo. Almeno questo era quello che avevo
inteso. Complimenti, comunque.
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Received on Sat Nov 06 2004 - 15:27:46 CET