Il 28 Ott 2004, 20:47, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> Tetis ha scritto:
> > Ho appena completato una ennesima lettura degli appunti:
> > ftp://osiris.df.unipi.it/pub/sagredo/gruppi Superfluo dire che c'e'
> > tanto materiale dentro quelle pagine che la lettura puo' procedere a
> > stratificazioni successive di approfondimento e che dovro' tornare su
> > tutta la parte del teorema di Wigner Eckart vista l'importanza che
> > hanno le regole di Lande' non solo in fisica atomica ma anche in
> > fisica dei solidi.
> Ti racconto la storia di quelle pagine...
> Sono la fedele trascrizione di un corso che tenni al Corso di Perf. in
> Fisica, dal '94 al '96.
> Il progetto iniziale del corso era molto piu' ambizioso: avrei
> volutoriprendere una quantita' di argomenti che avevo trattato in
> altri corsi molti anni prima.
E' quello che si percepisce a sprazzi, perch� alcune pagine
sembrano lavorate di cesello, ma altre sembrano chiuse con
un certo senso di rammarico e lasciano immaginare di pi�.
> In particolare, rappresentazioni dei gruppi di Lorentz e di Poincare'.
> Pero' il corso era limitato a 20 lezioni, quindi...
> Inoltre era frequentato essenzialmente da laureati in matematica, che
> percio' non sapevano niente di m.q. Onevitabilment l'approccio ne e'
> stato influenzato.
>
> Detto questo, trovo un po' curioso che tu, capace di spaziare su
> alrgomenti che nella maggior parte io ignoro, ci ossa trovare "tanto
> materiale".
> Mi aspettavo che quelle cose tu le conoscessi a menadito :)
Esiste un libro di circa duecento pagine dal titolo
gli atomi come sistemi ad uno e due elettroni. Nella
semplicit� sta ogni fondamento ed ogni rifrazione.
> > Alcune domande non propriamente semplici:
> >
> > esistono dei libri con i reticoli per i gruppi piu' complicati del
> > gruppo del cubo? Esistono ad esempio dei reticoli per i gruppi
> > di Lie?
> Ma ti rendi conto?
Si lo so che � impossibile stendere il catalogo,
ma mi chiedevo se sono discussi i modi per
portare questo genere di ricerche su binari
comuni.
> Pensa ad es. a un gruppo "facile" come SO(3). Ho scritto facile e non
> semplice, perche "semplice ha un significato tecnico. SO(3) e' anche
> semplice, ma questo c'entra poco.
>
> Dunque SO(3) ha per cominciare infiniti sottogruppi SO(2), per
> ogni possibile asse di rotazione. Va bene che sono tutti isomorfi, per
> cui si potrebbe semplificare il reticolo indicandone solo uno.
>
> Poi i s.g. di SO(2) sono infiniti, con la cardinalita' dei reali, e
> anche in questo caso il reticolo non e' mica semplice...
Infatti sul gruppo delle rotazioni del cerchio c'�
non a caso chi ha fondato edifici matematici di non
trascurabile entit�. Ricordo quante applicazioni ha
scoperto a tal riguardo Gauss, e delle propriet� in
rapporto alle frazioni continue.
> Perfino se ti limiti ai s.g. finiti, sono un insieme numerabile, con la
> stessa struttura del gruppo additivo Z, per cui ti entrano in ballo i
> numeri primi...
E varie propriet� delle funzioni di Riemann e Dirichlet.
> E non e' finito: ci sono ancora tutti i gruppi diedrali, e poi oltre
> al gruppo del cubo quello dell'icosaedro.
>
> E questo era un caso "facile" :)
>
> > se SU(2) e' il vero gruppo delle rotazioni qual'e' il vero gruppo di
> > simmetria per la meccanica quantistica relativistica? Ho provato a
> > rispondere in termini di algebra di Dirac e di SL(2,C)/Z^2, ma allora
> > quello che mi sembra naturale e' dire che il vero gruppo delle
> > rotazioni sia SU(2)/Z^2. Oppure dire che il vero gruppo della
> > relativita' e' SL(2,C). Come esco da questo nodo? Non e' una domanda
> > finto ingenua. E' una domanda difficile, si intrecciano vari livelli.
> > E rispondere e' necessario come e' necessario ragionare con le
> > particelle relativistiche dotate di spin.
> Sai, su quella discussione io non sono intervenuto perche' non sapevo
> che dire.
> Memore dell'immortale insegnamento di Renato Rascel, che tu sei troppo
> giovane per aver conosciuto:
>
> "E siccome nun ciavevo gnente da di', nun dicevo gnente."
>
> Magari tutti si attenessero a questa massima ;-)
>
> Tornando al tema, che sarebbe Z^2?
> Io direi SL(2,C).
D'accordo per SL(2,C). Forse comincio ad intuire.
Partire da SL(2,C) costruire le rappresentazioni,
irriducibili finito dimensionale, che non sono unitarie,
le rappresentazioni irriducibili sono definite a meno di
"automorfismi" cio� intendo, trasformazioni che applicano
rappresentazioni in rappresentazioni. Costruisco le
rappresentazioni pseudo-unitarie, osservando che sto
in effetti ampliando la rappresentazione ad un gruppo
pi� grande di SL(2,C). In effetti basta che ci siano
le rappresentazioni left e right. Quello che trovo difficile
� dimostrare che siano univoche, a dir la verit� non so nemmeno
se sia possibile dimostrare l'univocit� della costruzione, di
ampliamento. In effetti per rappresentare la fisica delle
particelle occorre fissare invarianti di un gruppo pi�
ampio che contenga per lo meno le traslazioni, ma questo ampliamento
conduce ad equazioni di campo le cui soluzioni hanno gruppi di invarianza
pi� ampi del gruppo di Poincar�... ovvero i gruppi unimodulari.
C'� un certo grado di arbitrariet� in tutto questo, non trovi?
Poi non � strano che sia cos� difficile trovare un buon libro in
cui si spieghi in dettaglio cosa significa che il
gruppo di Lorentz non ha rappresentazioni unitarie
finito dimensionali, cosa implica questo sulla classificazione
degli operatori, non un cenno sintetico sulle fatiche di Ercole
affrontate da Wigner.
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> Elio Fabri
> Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Fri Oct 29 2004 - 16:54:27 CEST