Il 30 Ott 2004, 11:21, "strings" <alonzopatonzoCANCELLA_at_libero.it> ha
scritto:
>
>
>
> > Tutto corretto se dici "B ristretto a V(g)".
>
> Si perch� mi sto limitando al caso specifico trattato dal Cohen e cio�
> autovalori discreti
> e quntit� finite. Infatti, il Cohen
> lo dice esplicitamente poi estende "alla buona" ai casi continui e
> infiniti.
>
> > Infatti un autovalore di B puo' in generale avere
> > autovettori esterni a V(g),
>
> i cosiddetti ket (o vettori) generalizati vero?
No non necessariamente. Negli esempi che ho riportato
per spazio tre d in uno c'era una situazione di questo
tipo:
A applica x in x ed y in y e z in 2z mentre B applica x in 2x
y in 3y e z in 3z. Ancora x ed y generano uno spazio di degenerazione
due per A, non tutti i vettori di questo spazio sono autovettori
di B.
Un autovettore dell'autovalore 3 sta nell'autospazio di A di
degenerazione due relativo all'autovalore 1. L'altro autovettore
dell'autovalore 3 e' la direzione z che non sta nell'autospazio
di degenerazione 2.
> > Direi che l'unico punto poco generale della discussione del
> > Cohen sia nella considerazione di autovalori ed autovettori propri,
> > restrizione che si rende necessaria per via della difficolta' di
> > impostazione
> > del caso generale. Con la parte continua degli spettri
> > e con le misteriose proprieta' delle osservabili autoaggiunte avrai
> > tutto il tempo di familiarizzare in futuro. Ti basti sapere che tutte
> > le proprieta' che hai dimostrato nel caso particolare illustrato da
> > > Cohen ammettono generalizzazione nel linguaggio delle rappresentazioni
> > moltiplicative.
>
>
> Credo che il teorema in questione valga in tutti i casi giusto?
C'e' piu' di un teorema che vale ciascuno nelle proprie condizioni
di applicabilita'. Una prima discussione approfondita fu data dal
classicissimo Reed Simon di metodi matematici della fisica.
Ora la verita' e' che la teoria spettrale degli operatori non limitati
e' difficile, perche' richiede di verificare la possibilita' di estensione
di definizioni valide su sotto varieta' degli spazi agli spazi interi.
Nei casi che ho indicato negli esempi che ho fornito queste estensioni
sono possibili e si verificano facilmente. In generale le storie possono
essere piu' difficili. La situazione e' facilitata dal fatto che gli
operatori
possono essere costruiti tutti dall'azione di un gruppo e che questo gruppo
abbia associata una misura e dei generatori limitati. Inoltre nel caso degli
impulsi questi sono operatori associati con le traslazioni. Ne bastano
tre per generare tutte le traslazioni. In generale e' comodo ragionando con
algebre di operatori come avviene in meccanica quantistica avere una
sotto-algebra che costruisce l'algebra intera.
> A dire il vero � probabile che mi sarei dovuto limitare solo all'enunciato
> del teorema.
> La dimostrazione l'ho studia come esercizio di applicazione dei vari
> concetti fino ad ora
> studiati e poich� il Cohen non � rigoroso, si presta a questo tipo di
> studio. In fondo l'esame
> di metodi l'ho gi� fatto. Quindi si tratta solo di applicare le cose.
E lo so. In effetti te la sei cavata benone. Grazie per l'interessante
stimolo di riflessione e scusami se ho debordato. Se ti puo' confortare
qualche giorno fa sono cascato in malo modo su un'applicazione di
questi semplici teoremi. Il problema era studiare le equazioni del moto
in un campo di velocita' approssimato dallo sviluppo lineare intorno ad
un punto di equilibrio: dr/dt = A r.
Ho usato questo teorema che gli autovalori sono reali dimenticando
di controllare la condizione di hermitianita'. Ne e' venuto fuori un
pastrocchio di
confusione. Infatti se l'operatore e' semplicemente simmetrico, come era in
quel caso, e non hermitiano, sai che gli autovalori sono in generale
complessi
a coppie coniugate. Siccome mi servivano autovalori complessi li ho
attribuiti
all'emergere di una componente antisimmetrica perche' in effetti la
componente
antisimmetrica puo' emergere ed e' responsabile di una rotazione del campo
di
velocita'. Quindi vedi che e' certamente utile rimeditare la tenuta
d'insieme
delle nozioni acquisite senza cedere con facile entusiasmo a cercare
conferme
delle proprie intuizioni. Fortunatamente quella svista non interferiva con
la sostanziale
tenuta dei ragionamenti, ed in effetti le intuizioni tratte dalla esperienza
si rivelavano
sostenute da un aggiustamento di quelle affermazioni.
E' per esperienza di disagio che si suggerisce un rimedio. Occorre sempre
verificare
l'esattezza completa delle proprie affermazioni, cercando controesempi,
verificando
le ipotesi dei teoremi, confrontando le diverse implicazioni di affermazioni
che si ritiene
corrette. Se in questo percorso di verifica si trova una contraddizione
occorre cercare
con scrupolo quale ipotesi non e' verificata. Questo esercizio non ha valore
solamente
nella matematica, ma in tutta la ricerca scientifica, e' dalla
individuazione delle ipotesi
corrette che procede la veridicita' delle deduzioni e la bonta' delle
scoperte scoperte.
> Grazie per la risposta
>
> Strings
>
--------------------------------
Inviato via
http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Sun Oct 31 2004 - 19:58:25 CET