"Michele Andreoli" <m.andreoli_at_tin.it> wrote in message
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> > Altra formula che puo'
> > essere utile: la trasformata di Fourier di -(i*pi)delta-(om^2-k^2)
> > definita con la convenzione che e' l'integrale di exp(i om*t - k*x)
> > f(om,k) e che ogni dk si prende un 2pi a denominatore,
> > e' 1/(4*pi) delta+( t^2-x^2). Se poni la convenzione simmetrica
> > invece (cioe' ogni dk si prende una radice di 2pi a denominatore)
> > trovi il bel risultato che -(i*pi) delta- va in +pi delta+.
>
> Per essere sicuro di aver ben letto, provo a riscrivere usando
> notazioni quadrivettoriali. Posto K=(w,k) e X=(t,x), tu hai scritto
> che l'antitrasformata di -i*pi*delta-(K^2) e' 1/(4Pi) delta+(X^2).
> E' esatto?
Si, ho scritto questo, ho fatto il conto in dettaglio ed ho trovato
che avevo sbagliato.
> Comunque, la presenza dei quadrati K^2 e X^2 mi torna a causa
> dell'invarianza, ma non so piu' calcolare gli integrali
> quadrimensionali coinvolti. Si passava in coordinate polari nello
> spazio dei k, a fissate w, mi pare ... ora ci provo. Dammi un link.
Un modo e' passare in coordinate polari:
it = s cos(u)
z = s sen(u) cos(v)
y = s sen(u) sen(v) cos(w)
x = s sen(u) sen(v) sen(w)
Dove io ho indicato con s l'intervallo che e' sqrt(-X^2). Poi indico con
k=sqrt(-K^2) Ora devi integrale sugli angoli. Tenendo presente che il
prodotto scalare e' isotropo e dipende solo da k*s cos(u). L'integrale
di exp(ks cos(u)) sin(u) du e' il classico 2 * sen(ks)/ks Poi hai gli
integrali in v e w che danno invece la superfice della sfera tre d.
Quindi trovi 4 pi. Cioe' trovi 8pi integrale di
(1/s) sen(ks) k^2/(k^2+i eps). Da valutare per k che va da zero ad
infinito. Questo integrale non e' definito perche' abbiamo preteso di
trasformare il nucleo integrale moltiplicativo della soluzione
dell'equazione di Green. Questo nucleo normalmente agisce su funzioni
f(k) e se queste funzioni decrescono all'infinito troviamo funzioni
sensate. Se ci accontentiamo di trovare il comportamento principale
della distribuzione possiamo procedere molto semplicemente in questo
modo: sostituiamo eps = 0 e regolarizziamo con una funzione exp(-eps s).
Quindi portiamo epsilon a zero. Troviamo ora l'integrale di
sen( k s) exp( - eps k) vale -1/s. Dove se vai a mettere i coefficienti
trovi 2i/[pi*(2pi)^2(s^2+eps^2)].
Riassumendo ho dato uno sketch di dimostrazione del fatto che la
trasformata di Fourier di pi/2k^2 e' i/(2pi)^2(s^2) nella
parte principale delle funzioni.
Questo modo fornisce per lo meno una valutazione dei
coefficienti corretti. Come vedi a conti fatti trovi un
errore nella formula che avevo scritto desumendola
dal Feynman Hibbs. Come disse qualcuno senza errori la soglia
dell'attenzione non si alza. Ad ogni modo se voglio trovare la
trasformata di Fourier della funzione che ho trovato prima, non solo
nella sua parte principale, devo tornare all'integrale di:
sen(ks) k^2/(k^2+i eps)
Che puoi trasformare con il trucco di sviluppare
sen(ks) mediante la formula di Eulero. E riconoscendo
due trasformate di Laplace notevoli per parte immaginaria
di s > 0 e per parte immaginaria di s < 0. Quando la
parte immaginaria e' nulla puoi impropriamente sommare
le funzioni limite. Il carattere improprio di questo
limite si risolve nell'ipotesi che le distribuzioni di
carica si annullino per s^2 -> oo. Ad ogni modo questa formula
che avevo scritto e' desunta sempre dal Feynman Hibbs. Questi calcoli
invece non sono ovviamente sviluppati. Sarebbero standard e
propabilmente
ognuno di questi fisici ce li aveva svolti su quadernetti simili a
quelli che di tanto in tanto uso anch'io. Non so se esistono oggi dei
prontuari con le formule sulle distribuzioni e sulle loro trasformate.
Esistono dei manuali con le trasformate di Laplace anche per le
distribuzioni di tipo piu' semplice: funzioni gradino, polinomi,
funzioni razionali,... Poi da qualche parte occorre usare i
prodotti di convoluzione.
Se trovassi di qualcosa di piu' dedicato dammi un fischio.
Avevo provato a valutare l'integrale in un altro modo:
con il cambio di variabile nel secondo integrale di
k con -k mi riporto a calcolare exp(iks) k^2/(k^2+i eps) su
tutto l'asse reale. Integrale sempre divergente che avevo
cercato di regolarizzare in qualche modo con qualche funzione
che conservasse il carattere di integrale di Jordan. Pero'
mi sembra che il modo piu' sensato sia di sviluppare
la serie geometrica 1/(1+i eps/k^2) per k^2>eps
Ottengo una serie di integrali in capo ai quali sta delta(s).
Il modo piu' tradizionale di valutare questi integrali
consiste nell'integrale in d^3k dom. In quel caso conviene
integrare prima la dipendenza angolare in d^3k ed ottieni
4pi sen(ikx)/ix. Quindi integri in d_om e la funzione ha
due poli nelle due radici complesse di k^2 - i eps.
Cioe' una radice per om positivi sotto l'asse reale ed una
nel punto opposto del piano di Argand. Secondo che t e'
positivo o negativo devi chiudere exp(i om t) sopra
e trovi pi exp(-i k t)/k oppure sotto e trovi
- pi exp(i k t)/k. Questo integrale come quello che avevamo
trovato prima non e' valutabile, dobbiamo scegliere
una regolarizzazione adeguata. In questo caso, quando
rimuoviamo questa regolarizzazione ritroviamo
la rappresentazione in termini di funzione di green causale
infatti l'integrazione ha dato luogo al T ordinamento per
via del modo in cui devi chiudere l'integrazione secondo che
t sia maggiore o minore di zero.
> Magari fosse solo spirito, e non anche ignoranza. La verita' e' che
> alcune cose le so, altre le ... simulo. Non sono mica Elio Fabri, che
> sa tutto :-)
>
> > ... e poi vieni a dire che
> > non crederai mai che sarebbe possibile costruire
> > un'interpretazione statistica della meccanica quantistica
>
> Non ho detto questo. Come potrei negare che "sarebbe possibile
> costruire un'interpretazione statistica della meccanica quantistica"?
> Io avevo capito che tu stessi dicendo qualcosa di piu': *derivare*
> la MQ dalla statistica e dalla teoria della probabilita'.
Perche' questo e' davvero quello che intendevo:
pensavo ad una generalizzazione della statistica
che includa oltra che la meccanica statistica fatta
su spazi di misura euclidei e di Borel anche la meccanica
quantistica. In verita' Feynman mostra gia' come ottenere la
funzione di partizione per un sistema quantistico
termodinamico. Quello che non mi risulta compiutamente
sviluppato e che ha richiesto degli sforzi ingenti e' la
teoria cinetica iniziata ad esempio dai lavori di Bogoliubov.
> Infatti, nel thread "destra e sinistra" tu scrivi:
>
> > > La possibilita' di ottenere la fisica
> > > quantistica come sottinsieme della fisica statistica non e'
> > > peregrina
>
> Non parlavi di "intepretare" statisticamente, ma di "ottenere" la MQ.
E' vero, diciamo che ci speravo.
> Michele
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Received on Thu Oct 28 2004 - 01:26:01 CEST