Il 27 Ott 2004, 10:30, Valter Moretti
<vmoretti2_at_hotmail.com> ha scritto:
>
>
> Tetis wrote:
> >
> >>
> >>Le ampiezze "oggetti statistici"? Scusa, non ti seguo. Non sono un
> >>esperto in statistica, ma in tutti i manuali di probabilita' che ho
> >>letto, ho sempre visto sommare e moltiplicare le probabilita'. In MQ
> >>noi sommiamo le ampiezze complesse e non direttamente i quadrati
> >>delle ampiezze (le probabilita'), cio' che, tralaltro, conduce ai
> >>concetti di interferenza, sovrapposizione etc.
> >>
> >>Spiegami meglio cosa volevi dire.
> >
> >
> > Apri per esempio il libro di Rudin dove parla degli
> > spazi di misura complessi. Poi qualche libro che parli
> > delle algebre di operatori su spazi di misura complessi.
> > Questo per quanto riguarda la struttura probabilistica
> > della meccanica quantistica.
> >
>
> Scusa se mi intrometto, ma il Rudin (Real and complex analysis)
> non c'entra nulla. L'altro (Fuctional analysis) c'entra un pochino...
> Dato che ho tenuto un corso su questi argomenti al dottorato di ricerca
> in matematica poco tempo fa posso, credo, dire la mia:
> le misure complesse non hanno molto a che vedere con la probabilita'
> quantistica. La probabilita' quantistica non e' gestita da una misura,
> non si puo' descrivere con gli assiomi di Kolmogorov.
Vero. Ho toppato e ti rigrazio sinceramente per il richiamo all'ordine.
Comunque mi sembra che le algebre di Borel classiche sono la ancora
quanto serve per parlare di path integral.
Anzitutto gli stati non sono definiti come insiemi e non e' sugli stati
che definiamo alcuna nozione di probabilita' o di ampiezza. Pero'
importa cio' che si puo' dire di uno stato per caratterizzarlo. Quello
che possiamo dire e' che grazie al teorema di Gleason uno stato su un
sistema quantistico con spazio di Hilbert H e' un operatore di classe
traccia con traccia con traccia unitaria su H. E che spazi di misura
sono non gia' gli spazi che occorrono per descrivere gli stati, bensi'
gli spazi che occorrono per descrivere gli esiti di osservazioni. Dato
uno stato ed un osservabile possiamo raccogliere gli esiti delle
misure e possiamo costruire un densita'. Possiamo anche considerare
una decomposizione di un osservabile in termini di operatori
di proiezione che commutano fra loro. Quindi possiamo in effetti
ricondurre le misura di una osservabile ad uno spazio di probabilita'
in senso ordinario, attrezzato con una algebra di Boole, e l'osservabile
ad un omomorfismo di algebre di Boole, tuttavia la classe di questi
proiettori non e' massimale rispetto alla commutativita' dei proiettori.
Se indichiamo uno stato con rho la probabilita' che una proposizione
P sia vera sullo stato rho vale tr(rho P).
> Questo perche' lo spazio su cui "misuri" non e' commutativo
> essendo la classe dei proiettori ortogonali su uno spazio di Hilbert
> (separabile). La "misura di probabilita'" (nel senso del teorema di
> Gleason) che si usa in MQ, in particolare non soddisfa le stesse
> proprieta'di Kolmogorov, per quanto riguarda la
> probabilita'condizionata, proprio per la presenza di eventi (in senso
> probabilistico) non commutanti.
Questo e' in rapporto con la struttura del reticolo di Neumann, Gli
spazi di Hilbert hanno alcune proprieta' molto vicine a quelle dei
reticoli booleani, ma non sono e non saranno mai reticoli booleani.
Penso che per questo sia pienamente condivisibile il nervosismo di
Michele rispetto alle affermazioni sulla natura probabilistica degli
eventi. Io stavo ragionando sul piano descrittivo ed avevo fatto
confusione sul piano del calcolo delle probabilita'.
Il reticolo della meccanica quantistica e' un reticolo ortomodulare,
limitato e sigma completo. Tuttavia, mi permetto solo di prendere questo
appunto: proprieta' vere per ogni sottoinsieme
non necessariamente lo sono per l'insieme. E prendo nota di un'altra
domanda che mi sorge adesso: dato uno stato rho su uno spazio di
Hilbert e' possibile determinare rho? In generale direi che si possa
misurare un'arrozzamento di rho, ma non una sua determinazione. Se poi
lo
stato e' di infinite particelle torno a stupirmi che nessuno si sia
posto il problema se sia possibile determinare la larghezza
di riga di una singola particella.
Del resto delle cose che hai scritto,
> malgrado io possa considerarmi un esperto di diverse delle cose
> che citi (da quello che interpreto), non sono riuscito a capire
> quasi nulla. Questo non vuol dire certo che hai scritto delle
> cose a caso, ma credo che tu le abbia scritte in modo incomprensibile
> (almeno per me, immagino anche per altri).
In questo caso il motivo credo proprio che sia che non sapevo
esattamente
cosa stavo cercando di comunicare. Ho un'idea abbastanza precisa di
un'intuizione, e stavo cercando di delinearla per sommi capi,
riconducendomi a nozioni comuni. L'idea di fondo e' che le categorie
della logica classica tornino non solo utili, bensi' necessarie per la
comprensione della meccanica quantistica. Cio' non vuol dire che la
meccanica quantistica debba necessariamente essere comprensibile. E su
cosa significa comprensibile ci sarebbe da studiare. (Vedi che
purtroppo
la mia vena di presunzione non si rassegna).
Concludo citando Poincare': "La prima volta che il lettore francese
apre il libro di Maxwell, alla sua ammirazione si unisce innanzitutto
un sentimento di fastidio, e non di rado anche di diffidenza. Soltanto
dopo una prolungata frequentazione, e a costo di molti sforzi, questo
sentimento finisce per dissiparsi. Qualche eminente studioso, tuttavia
non arriva a sbarazzarsene mai. Perche' le idee dello scienzato inglese
trovano tanta difficolta' a diffondersi presso di noi? Probabilmente,
perche' la maggior parte dei francesi riceve un'educazione che li
predispone ad apprezzare la precisione e la logica piu' di ogni altra
qualita' "
Superfluo dire che in tutto questo discorso io sto dalla parte di
Poincare' per quanto riguarda la precisione e la logica e dalla
parte di Maxwell per quanto riguarda la necessita' di dire le cose,
ma che non essendo, ahime' ne Maxwell, ne' Poincare' mi sento onorato
di poter gia' solo a volte discutere con voi che state tanto in
alto. [Questa invece e' irriverente falsa umilta' :-)]. Cioe'
davvero capisco di non saper pensare le cose con la nitidizza di
Poincare' ne' di manipolare i fenomeni con la matematica con la
straordinaria abilita' di Maxwell, pero' questi rimangono i miei
riferimenti mentali. Capita dunque che se a rivolgermi critiche non
trovo uno che ragiona netto e nitido come quasi sempre fanno un
Valter Moretti o un Giorgio Pastore o un Elio Fabri e tanti ancora
su questo ng io comincio a sbagliare per assonanze successive se
non ho chiarissimo il soggetto ed i termini della discussione. Quindi
mi scuso con i miei interlocutori e con Michele, cerchero' di tenere
presente questa lezione per il futuro.
> Scusa l'intervento, ma mi sembrava necessario per riportare sui binari
> il thread.
Compreso. Stavolta comprendo e concedo.
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Received on Wed Oct 27 2004 - 19:21:43 CEST