SOS

From: strings <alonzopatonzo_at_libero.it>
Date: Thu, 28 Oct 2004 10:08:43 GMT

Spero che ci sia qualcuno che mi possa aiutare.

Chiede scusa per la lunghezza e per l'alto grado di noiosit�, ma il punto in
questione �
comparso all'improvviso, nel senso che dopo averlo gi� studiato e ripetuto
mi � venuto,
come si dice dalle mie parti, un "ingrippo mentale".

Ecco il problema.
Sto studiando mec. quant. dal libro Cohen versione inglese.
A pagina 140 c'� un teorema che dice:

Teorema III

se A e B sono due osservabili che commutano, allora � possibile costruire
una base ortonormale
dello spazio degli stati con gli autovettori comuni ad A e B.

Nella dimostrazione ad un certo punto si arriva a due casi:

a) detto a(n) l'autovalore non degenere di A e indicato con |u>
l'autovettore associato, allora |u> stesso �
autoket comune ai due operatori.

fin qu� nessun problema.

b) se a(n) � degenere con grado di degenerazione g, allora esistono g
autovettori indipendenti di A, |u(i)>, i quali formano
una base dello spazio V(g).

A questo punto il libro afferma che non � detto che questi |u(i)> siano
anche autovettori di B.

Per trovare questi autovettori comuni fa il seguente ragionamento, che
cercher� di riassumere quanto pi� possibile:

1) poich� gli autovettori |u(i)> formano una base, allora tutti i vettori
che appartengono allo spazio V(g) sono essi stessi autovettori
dell'operatore A con autovalore a(n). Dunque � possibile scegliere una base
diversa dalla |u(i)> . La nuova base sar� ancora formata
da autovettori di A.

2) Fissata la base {|u(i)>} , B , nello spazio V(g) , � rappresentato da una
matrice hermitiana, e dunque B �
diagonalizzabile. Se � diagonabilizzabile allora esiste una base {|v(i)>}
di autovettori relativi ad un certo
autovalore di B che indico con b(n).

A questo punto basta osservare che gli autovettori {|v(i)>} appartengono
allo spazio V(g), allora
per il punto 1) i ket {|v(i)>} sono autovalori anche di A.

Ecco giunti al punto che non capisco:

se ho trovato una nuova base {|v(i)>} di autovettori di B nello spazio
V(g), vuol dire che tutti i vettori ottenuti come
comb lin dei {|v(i)>} sono autovettori di B (sto riapplicando il
ragionamento del punto 1)).
Ma i vettori {|u(i)>}, autovettori di A, possono essere scritti come com lin
dei {|v(i)>} e dunque i
vettori {|u(i)>} sono autovettori anche di B!

Dunque, sembrerebbe che tutti gli autovettori di A, sono anche autovettori
di B c(on diversi autovalori).
Il libro invece sottolinea che quest'ultima affermazione in generale non �
vera!

Dove sbaglio?!

Grazie

Strings
Received on Thu Oct 28 2004 - 12:08:43 CEST