Re: sezioni di Dedekind

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it>
Date: Fri, 29 Oct 2004 08:40:28 +0200

Forse sarebbe stato piu' appropriato postare su i.s.m. ma a quest punto
provo a darti una risposta sistetica sulla questione generale:

marco� wrote:
> Da: "Lezioni di analisi matematica" di Maderna-Soardi:
...
>
> Non mi � chiaro il senso di questa definizione. Secondo questa definizione
> un numero reale coincide con un sottoinsieme non vuoto di Q. La domanda
> potr� sembrare banale: come fa un singolo numero reale a essere definito da
> un insieme di razionali?

La spiegazione euristica e' nel fatto, gia' noto ai greci, che un
numero reale puo' essere approssimato sempre meglio da numeri razionali,
sia per eccesso, sia per difetto. E di questi ce ne sono infiniti.
A questo punto, l' idea di Dedekind fu di "ribaltare" la questione e di
usare questo cone *definizione* di reali. Il risulato e' una definizione
che, per chi e' alle prime armi con questo genere di procedimenti
appare strana (come? *un* numero reale sarebbe l 'insieme di tutte le
approssimazioni razionali per difetto ? ma non era *un* numero ?)
tuttavia in matematica si e' dimostrata estremamente fruttuosa per
arrivare a delle definizioni pulite, logicamente accettabili e che non
facciano riferimento ad elementi intuitivi non definiti.

Va anche notato che la definizione mediante sezioni di Dedekind non e'
l'unica ma ce ne sono altre (comunque poco "intuitive") che sono
equivalenti a quella di D.

> Mi viene in mente che i complessi sono definiti a partire da coppie ordinate
> di numeri reali...c'� qualche analogia nel procedimento?

Dipende dove vedi l' analogia. In un certo senso anche si' (*un* numero
complesso definito attraverso *due* reali). Da un altro si tratta di
una costruzione piu' complessa (bisticcio involontario :-) ):servono
infiniti razionali per definire un reale.

Giorgio
Received on Fri Oct 29 2004 - 08:40:28 CEST