Il 28 Ott 2004, 23:31, "marco�" <marco.grecchi_at_nospam.fastwebnet.it> ha
scritto:
> Da: "Lezioni di analisi matematica" di Maderna-Soardi:
>
> "Chiamiamo sezione di Dedekind o sezione del campo razionale un
sottinsiema
> a di numeri razionali soddisfacente le seguenti propriet�:
>
> i) a diverso dall'insieme vuoto, a diverso da Q
>
> ii)se p appartiene ad a e q<p allora q appartiene ad a
>
> iii)a non ha massimo
>
> Chiamiamo numero reale una sezione di Dedekind."
>
> Non mi � chiaro il senso di questa definizione. Secondo questa definizione
> un numero reale coincide con un sottoinsieme non vuoto di Q. La domanda
> potr� sembrare banale: come fa un singolo numero reale a essere definito
da
> un insieme di razionali?
Non pu� in effetti. Quello che trovi fino a questo punto � solo un
insieme contenitore per delle approssimazioni, non un numero.
Il problema di rappresentare una procedura di approssimazione e' un problema
che nasce in geometria con la scoperta dell'irrazionalit� della diagonale
del
quadrato.
I numeri razionali non forniscono una descrizione completa delle
grandezze geometriche occorre considerarne un'estensione. L'idea
di Euclide fu di caratterizzare il rapporto fra la diagonale
del quadrato ed il suo lato caratterizzando l'insieme delle approssimazioni
che erano costruibili con riga e compasso ovvero i multipli interi del
lato e le loro frazioni intere e distinguendole in approssimazioni per
eccesso e per difetto. La definizione di Euclide � differente da quella
di Dedekind in un punto delicato che spiegher� in seguito. Euclide non
ricorre mai alla nozione di insieme infinito. Si limita a dare delle
indicazioni operative di confronto che possono essere portate avanti
quanto si voglia ed applicabile alla generalit� delle costruzioni
geometriche pensabili, ed a fornire un modo per caratterizzare il
rapporto fra segmenti che funzioni anche quando questi non siano
commensurabili.
Occorreva in particolare una definizione che prescindesse il pi� possibile
da convenzioni di approssimazione, come quella decimale, le definizioni
operative di numero reali in termini di allineamento decimale non potevano
soddisfare le esigenze di generalit� di Euclide perch� avrebbero posto un
limite inaccettabile alle costruzioni geometriche.
Dicevo che un insieme di razionali non pu� essere considerato un
numero reale, non pu� quella che hai riportato e' una definizione
incompleta.
Occorre definire le operazioni sulle classi, una definizione di
equivalenza fra le classi, ed introdurre l'assioma di completezza o un suo
equivalente, senza di ci� non si pu� apprezzare la necessit�
di questa definizione. Solo alla fine di tutto questo trova ragione
la definizione di numero reale. Nel caso di Dededink due classi si
sommano e si moltiplicano mettendo nella nuova classe tutti
i possibili prodotti e tutte le possibili somme. L'opposto di una
classe si definisce mettendo nella nuova classe gli opposti del
complementare ad eccezione dell'opposto del minimo se questo esiste.
L'equivalenza fra le due classi � definita per identit�: due classi
sono uguali se contengono gli stessi elementi.
L'assioma di completezza
consiste nel dire che per una qualsiasi funzione continua
il risultato di questa funzione su un numero � ancora
descritto da una classe di Dedekind.
Rimanendo agli strumenti classici Euclide
si era accorto della necessit� di considerare una buona definizione
di equivalenza fra insiemi di approssimanti cercando di ridurre al
minimo le convenzionalit� e tenendo ben presente un
criterio di finitezza che al suo tempo era particolarmente importante.
Per Euclide era importante la verificabilit�
in loco delle propriet�, ed era importante escludere l'infinito
attuale. Per assioma di completezza intese che date due classi
a, b si intende che sono equivalenti se per ogni numero eps razionale
esistono due numeri uno in a ed uno nel complementare di b in modo
che la loro differenza sia minore di eps. La cosa detta con un apparato
in vero molto complesso di definizioni.
Perch� serve questo rigirio? Per evitare di considerare definizioni
che potrebbero essere non controllabili nella generalit� dei casi.
Per esempio evitare di definire un numero reale per mezzo di
allineamenti decimali infiniti dicendo cose come due allineamenti
sono uguali se tutte le cifre sono identiche. O due proporzioni sono
uguali se tutte le proporzioni razionali contenute sono applicabili
le une nelle altre.
> Mi viene in mente che i complessi sono definiti a partire da coppie
ordinate
> di numeri reali...c'� qualche analogia nel procedimento?
--------------------------------
Inviato via
http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Fri Oct 29 2004 - 18:28:45 CEST