"strings" <alonzopatonzoCANCELLA_at_libero.it> wrote in message
> Detto in altre parole gli autospazi relativi all'autovalore b di B sono, in
> generale, sottospazi di V(g), autospazio
> dell'autovalore a(n) di A. Dunque in generale i vettori
> {|u(i)>} non sono anche autovalori di B. Lo sono solo se questi
> autospazi di V(g) (e dunque c'� ne uno solo)
> coicide con V(g) stesso.
>
> Fatemi sapere cosa ne pensate.
Tutto corretto se dici "B ristretto a V(g)".
Infatti un autovalore di B puo' in generale avere
autovettori esterni a V(g), in quel caso la parte del discorso in
cui dici che la somma delle degenerazioni degli autovalori di B
e' uguale a g non e' necessariamente verificata.
Come esempi
considera: A l'identita', B uno stretch in direzione y nel piano x,y.
L'asse x e' autovettore, l'asse y e' autovettore ma l'asse diagonale
non e'
autovettore di B. Per A diversamente tutti i vettori del piano
sono autovettori. Altro esempio: A applica x ed y in 2x e 2y
mentre applica z in 3z B invece applica x in x, y in y
e z in 3z. Allora x, y formano un sottospazio di degenerazione due per
A e B e sei nella situazione che ti ha tratto in inganno, ma ora
consideriamo un altro esempio: A applica x ed y in 2x e 2y
mentre applica z in 3z B invece applica x in x, y in 2y
e z in 3z. Allora x, y formano un sottospazio di degenerazione due per
A, mentre B ha solo autovettori di degenerazione uno. Altro esempio:
A applica x in x ed y in y e z in 2z mentre B applica x in 2x
y in 3y e z in 3z. Ancora x ed y generano uno spazio di degenerazione
due per A, non tutti i vettori di questo spazio sono autovettori
di B.
Direi che l'unico punto poco generale della discussione del
Cohen sia nella considerazione di autovalori ed autovettori propri,
restrizione che si rende necessaria per via della difficolta' di
impostazione
del caso generale. Con la parte continua degli spettri
e con le misteriose proprieta' delle osservabili autoaggiunte avrai
tutto il tempo di familiarizzare in futuro. Ti basti sapere che tutte
le proprieta' che hai dimostrato nel caso particolare illustrato da
Cohen ammettono generalizzazione nel linguaggio delle rappresentazioni
moltiplicative.
Ad esempio T, l'energia cinetica ammette funzioni improprie
sulle quali agisce moltiplicativamente. Queste funzioni improprie
possono essere scelte tali da essere simultaneamente moltiplicative
per p_x e p_y e p_z che sono tre operatori che commutano fra loro
e con T. Anche in questo caso gli autovalori impropri di T sono
compatibili con infiniti autovalori impropri di ciascuno degli
operatori p. Identico discorso si puo' fare per R^2 e per
x,y,z. Se il ruolo dell'operatore A e' svolto da x e quello
dell'operatore B da y allora risulta che esistono infiniti
autovalori impropri di B compatibili don un autovalore improprio
di A, ciascuno di questi ha degenerazione infinita. Quello che non
si puo' dire e' "consideriamo un sottospazio relativo all'autovalore
a" perche' questo sottospazio non esiste, e quello che non si puo'
mettere e' l'indice intero, perche' di autovalori impropri ne esiste
un continuo. Tuttavia anche con gli indici discreti si riesce a fare
tantissima fisica.
Quando studierai l'oscillatore armonico isotropo in tre dimensioni
o l'atomo di idrogeno scoprirai che L^2 (l'operatore del momento
angolare) commuta con H, operatore dell'energia, l'operatore
dell'energia
che e' sempre rappresentabile moltiplicativamente, e quindi in tal
senso diagonalizzabile, nel caso dell'oscillatore armonico gli
indici discreti bastano per descrivere tutti gli stati in termini
di autofunzioni proprie (le funzioni di Hermite), nel caso
dell'atomo di idrogeno gli indici discreti bastano solo per la parte
legata dello spettro.
Comunque, se per semplicita', nello spirito delle considerazioni
del Coehen ci limitiamo a studiare gli stati legati, allora per
ciascun autovalore esistono sottospazi vettoriali di autofunzioni
per L^2 relativi ad un autovalore, troviamo che esistono in generale
autofunzioni di H che non sono autofunzioni di L^2 ed autofunzioni di
L^2 che non sono autofunzioni di H.
Consideriamo ad esempio un autovalore di L^2 esiste un passo della
ricerca
delle soluzioni per mezzo della separazione di variabili, che consiste
nel fissare questo autovalore e semplificare l'equazione agli
autovalori per H, da questa semplificazione emerge, per i due casi che
abbiamo considerato: oscillatore armonico ed atomo di idrogeno,
un'equazione con infiniti
autovalori ed autovettori propri. La situazione inversa e' piu'
difficile
da dimostrare. Fissato un autovalore di H esistono per quasi tutti i
livelli piu' valori di L^2 compatibili, questo dipende dalla
particolare degenerazione
dei livelli degli stati legati per idrogeno ed oscillatore armonico.
Per altri potenziali centrali puo' verificarsi che questa
semplificazione acquisti una forma tale che esiste solo un numero
finito di autovalori propri corrispondenti a stati legati ed un
continuo di autovalori impropri. In ogni caso ogni livello discreto
ammette almeno
la degenerazione intrinseca degli autovalori di L^2. In alcuni casi
non
di piu'. Cioe' in alcuni casi ad ogni stato legato e dunque ad ogni
autovalore proprio di H corrisponde uno specifico auto-valore del
momento angolare. In questo caso la degenerazione di quell'autovalore
di H e' uguale alla degenerazione degli autovalori di L^2 ristretto
al sottospazio relativo V(g). E siamo nella situazione che ti traeva
in inganno. Se il ruolo di A e' svolto da L^2 questa situazione si
verifica molto di rado. Per potenziali non centrali L^2 non commuta
con H.
Received on Fri Oct 29 2004 - 23:26:08 CEST