"Elio Fabri" <mc8827_at_mclink.it> wrote in message
news:cl92oq$1chh$2_at_newsreader1.mclink.it...
> Bruno Cocciaro ha scritto:
> > pero' la lagrangiana del nostro sistema non la so trattare :-(. In
> > sostanza non so come trattare il vincolo, il che e' come dire che,
> > anche in questo caso, non so trattare l'interazione corda pallina.
> Puo' darsi che la difficolta' dipenda dall'aver pensato a oscill.
> trasversali?
Mi sa di no, mi pare che in entrambi i casi le difficolta' che avrei (avuto)
sarebbero (state) le stesse.
Uso fra parentesi il passato in quanto mi pare di aver risolto in gran parte
la questione.
Provo a riassumere il problema e la soluzione che avrei trovato perche' alla
fine mi si pone un nuovo quesito che vorrei porre all'attenzione del gruppo.
Corda fra -l/2 e l/2 (fissa agli estremi) di densita' di massa mu e tensione
T, al centro della corda c'e' attaccata una massa M la quale e' connessa ad
una molla di costante elastica K. Oscillazioni trasversali (come detto il
caso di oscillazioni longitudinali mi pare analogo, ma preferisco le
oscillazioni trasversali perche' si "vedono" meglio).
Vogliamo trovare un set completo di soluzioni delle equazioni del moto
(basta questo per chiamarle autofunzioni?).
Cioe', detta ETA(x,t) la funzione che descrive il profilo della corda,
vogliamo trovare un insieme di funzioni ETAi(x,t) che siano (per ogni i)
soluzioni e siano tali che una qualsiasi ETA(x,t) possa svilupparsi in
maniera univoca tramite le ETAi(x,t) (cio� le ETAi devono costituire una
base per le ETA).
Intanto dividiamo la ETA in parte pari e parte dispari. La parte dispari non
da' problemi, e' la stessa che si avrebbe se non ci fosse la massa con la
molla attaccata (cioe' la parte dispari della ETA non da' interazione fra
massa e corda: l'interazione e' data dalla differenza fra derivata destra e
derivata sinistra in 0, e per una ETA dispari tali differenza si annulla).
Il problema e' la parte pari, quindi supponiamo ETA pari.
La ETA deve necessariamente essere non derivabile in 0, altrimenti non ci
sarebbe interazione fra massa e corda (essendo ETA pari se fosse derivabile
la sua derivata sarebbe nulla), cio� una ETA derivabile in 0 non puo'
risolvere le equazioni del moto.
Le equazioni del moto che ottengo sono:
per x diverso da 0 la normale equazione delle onde:
-mu _at_^2ETA(x,t)/_at_t^2+T @^2ETA(x,t)/_at_x^2=0 (EQ1)
per x=0 la ETA deve soddisfare invece alla:
M _at_^2ETA(0,t)/_at_t^2-2T abs( @ETA(0,t)/_at_x)+K ETA(0,t)=0 (EQ2).
Come detto ETA e' non derivabile in 0, quindi con _at_ETA(0,t)/_at_x si intende la
derivata destra (o sinistra che e' uguale e opposta).
La base migliore per la parte dispari della ETA mi pare che sia data dalle:
ETAi(x,t)=sin[ki(abs(x)-l/2)]*cos(omi*t).
Imponendo EQ1 si ottiene
omi=ki*(T/mu)^(0.5)
imponendo EQ2 si trovano finalmente le ki ammesse. Si ha:
cotan(ki*l/2)=(M/mu)*(k/2)-(K/T)*(1/(2*k)) (EQ3)
da notare che i parametri interessanti sono il rapporto fra la lunghezza l e
le due lunghezze caratteristiche:
M/mu=quanto dovrebbe essere lunga la corda per avere massa pari a M,
T/K=quanto dovrebbe essere allungata la molla per esercitare una forza pari
a T.
Ora graficamente si osserva che all'interno di un qualsiasi intervallo
[i*2*pigreco/l, (i+1)*2*pigreco/l] esiste sempre uno e un solo ki soluzione
di EQ3 pero':
1) basta questo per assicurarmi del fatto che le ETAi costituiscono una base
(immagino di si' ma c'e' un qualche teorema che lo assicura?) ?
2) come cavolo faccio, data una qualsiasi ETA(x, t=0) a determinare i
coefficienti dello sviluppo (le ETAi non sono fra di loro ortogonali, o
almeno non lo sono rispetto all'usuale prodotto scalare, devo inventare un
prodotto scalare rispetto al quale le ETAi saranno ortogonali? Ma come
faccio ad inventarlo?)?
Grazie.
> Elio Fabri
Ciao.
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Received on Wed Nov 03 2004 - 19:32:19 CET