Il 03 Nov 2004, 19:32, "Bruno Cocciaro" <b.cocciaro_at_comeg.it> ha scritto:
Dir� qualcosa e poi non interverr� per qualche tempo.
> Le equazioni del moto che ottengo sono:
> per x diverso da 0 la normale equazione delle onde:
> -mu _at_^2ETA(x,t)/_at_t^2+T @^2ETA(x,t)/_at_x^2=0 (EQ1)
> per x=0 la ETA deve soddisfare invece alla:
> M _at_^2ETA(0,t)/_at_t^2-2T abs( @ETA(0,t)/_at_x)+K ETA(0,t)=0 (EQ2).
> Come detto ETA e' non derivabile in 0, quindi con _at_ETA(0,t)/_at_x si intende
la
> derivata destra (o sinistra che e' uguale e opposta).
Questo vincolo � eccessivo.
> 1) basta questo per assicurarmi del fatto che le ETAi costituiscono una
base
> (immagino di si' ma c'e' un qualche teorema che lo assicura?) ?
No occorrono anche le funzioni simmetriche con derivata zero.
Questo se decidi di limitarti al caso di funzioni simmetriche.
> 2) come cavolo faccio, data una qualsiasi ETA(x, t=0) a determinare i
> coefficienti dello sviluppo (le ETAi non sono fra di loro ortogonali, o
> almeno non lo sono rispetto all'usuale prodotto scalare, devo inventare un
> prodotto scalare rispetto al quale le ETAi saranno ortogonali? Ma come
> faccio ad inventarlo?)?
Esiste un teorema che generalizza Fourier alle funzioni continue a tratti.
Inoltre a me sembra che oltre alle Eta avrei trovato opportuno introdurre
un grado di libert� per la biglia. Lo avrei chiamato y(t). Quindi avrei
imposto
la condizione vincolare che Eta(0,t)=y(t). Inoltre che la risultante delle
tensioni
fosse uguale ad my''(t). Passando per la trattazione lagrangiana questo
� garantito come conseguenza insieme con la conservazione dell'energia.
f(k,om) exp(ikx)exp(i om t) � un sistema completo con tre vincoli.
f(-L,t)=0 f(L,t)=0 f(0-,t)=y(t)=f(0+,t)
y(t)=h(om) exp(i om t).
_at_f(0-,t)/_at_x + @f(0+,t)/_at_x = k y''(t).
In pi� su ogni tratto vale l'equazione di D'alembert.
Si sostituiscono le equazioni e si trova un sistema
sui coefficienti.
Questa la prima impostazione. La soluzione potrebbe richiedere
un trattatello, ammesso che basti. Cosa significa aver punti angolosi?
Questo compromette o no la condizione di discretizzazione in k?
La condizione di continuit� impone dei vincoli sui coefficienti
di sviluppo. Devi esprimere f(0-,t) ed f(0+,t) in termini dello sviluppo.
Non so rispondere subito alla domanda: questo sistema ammette
modi normali?
Quello che possiamo anticipare qualitativamente � che questi vincoli
comportanto frequenze elevate nello spettro. Questo � necessario
perch� occorrono punti angolosi. Le frequenze elevate
sono dannose per la teoria che vorresti supportare perch� implicano
un elevato tasso di dispersione statistico ed una difficolt� nella
possibilit�
statistica di restituire energia. Ma questo � solo un primo punto di vista.
Perch�
la sostanza del problema � molto pi� complessa e si spinge nei territori
della teoria analitica dei numeri e dell'analisi armonica.
Come esercizio prova a pensare questo: somma n vettori unitari che si
muovono di moto circolare uniforme con frequenze assortite. Ferma
dei fotogrammi. Come si distribuiscono le distanze dal centro?
Quanto vale il massimo? Cosa succede quando aumenti il
numero di vettori e la dispersione in frequenza?
Hint: valutare il modulo quadro di Sum_i [exp(i om_i t)]
Considera ora il caso semplificato in cui om_i = i om_o
che espressione ottieni? Noti una legge polinomiale?
> Grazie.
>
> > Elio Fabri
>
> Ciao.
> --
> Bruno Cocciaro
> --- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
> --- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
> --- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
>
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Received on Wed Nov 03 2004 - 22:43:49 CET