Tetis wrote:
>
> Infine voglio proporre questa osservazione: esiste una soluzione
> simmetrica per l'equazione di Green che pero' mi sembra che non sia
usata. Si tratta di 1/2[D_ret+D_adv]. E' simmetrica per inversione
> temporale e per parita', ed inoltre e' causale. Anzi a dire la verita'
> e' nulla ovunque eccetto che sul cono luce. Perche'?
Nota che gli stati quantistici NON sono locali: implicano correlazioni
al di fuori del cono di luce (nei valori di aspettazione di prodotti di
campi e simili).
Il propagatore di Feynman (che ha dentro il vuoto di Minkowski), infatti
non soddisfa
F(x,y)=0 se x e y sono causalmente separati (x-y di tipo spazio cioe').
La funzione a due punti che proponi tu invece soddisfa tale richiesta.
Questo e' un primo indizio per cui essa difficilmente puo' essere
associata ad uno stato quantistico. In effetti non credo che lo sia.
Bisognerebbe tirare fuori la funzione di Wightman a due punti assumendo
che quello che dici tu sia un "propagatore di Feynman". Mi ci gioco
qualcosa che la funzione di W. che ne esce non e definita positiva
per cui non induce un prodotto scalare hilbertiano. Purtroppo non ho
tempo per pensarci.
> Ed ancora una domanda: cosa cambierebbe se uno usasse funzioni
> di Green non simmetriche. Faccio presente che la risposta non e'
> ovvia dato che ogni ampiezza implica in effetti la valutazione di
> una gerarchia infinita di funzioni di Green, ma mi piacerebbe sapere
> se qualcuno in qualche articolo o in qualche pubblicazione ha
affrontato questi temi.
Nello spaziotempo piatto c'e' troppo poco spazio per rendersi conto
della questione pienamente (in un certo senso e' tutto legato
all'unicita' del vuoto invariante rispetto a Poincare' che lascia poca
liberta'). Prendendo varieta' con un gruppo di isometrie piu'
piccolo o addirittura senza isometrie, queste questioni diventano
molto piu' interessanti e se ne capisce la profondita'...
Esistono diversi lavori che si occupano della cosa (io stesso uso tutta
la tecnologia generale nella mia attivita'di ricerca),
ma sono molto tecnici.
Un libro che affronta ab ovo la questione della definizione di stato
quantistico su uno spaziotempo generico (globalmente iperbolico)
e' quello di R. M. Wald: Quantum Field Theory in Curved Spacetime and
Black Hole Thermodynamics, Chicago University Press 1994
> Uno mi puo' rispondere che il teorema di Wick ed il T ordinamento
> implicano necessariamente quelle funzioni di Green e non altre.
Infatti e' cosi' (mettici anche lo sviluppo di Dyson nelgi ingredienti),
nello spaziotempo piatto e riferendosi al vuoto di Minkowski. Nello
spaziotempo curvo le cose invece sono molto piu' complesse...
> Ma io obietto che il punto delicato di tutta la faccenda e' proprio
il T ordinamento. Il T ordinamento implica una nozione di simultaneita'
> ampiamente discutibile dal punto di vista logico. In primo luogo
> il T ordinamento implica sezioni di raccordo differenti per ogni
sistema di riferimento in altre parole la trasformata della funzione
> di Feynmann non e' la nuova funzione di Feynmann.
Le cose che hai scritto sopra le puoi vedere a livello di teoria della
rinormalizzazione ed in tal caso, e' vero che il T prodotto ha
un'ambiguita'...
Ma non credo che tu voglia mettere la cosa su tale livello. Rimanendo a
livello elementare, NON e' vero che
"Il T ordinamento implica una nozione di simultaneita'
ampiamente discutibile dal punto di vista logico. In primo luogo
il T ordinamento implica sezioni di raccordo differenti per ogni
sistema di riferimento in altre parole la trasformata della funzione
di Feynmann non e' la nuova funzione di Feynmann. "
Dimostrazione.
Prendiamo il campo scalare f.
Fissa un riferimento Minkowskiano (orientato positivamente nel tempo) e
definisci il T prodotto rispetto ad esso. Cambiando riferimento
Minkowskiano ma preservando l'orientamento temporale (usando cioe' il
sottogruppo gruppo ortocrono di Poincare'), un segmento di tipo causale
x-y rimane tale e non si inverte l'ordinamento temporale. Sia T' il T
prodotto rispetto ad un nuovo riferimento connesso al primo con una
trasformazione ort. propria. e siano t e t' le coordinate temporali dei
due riferimenti.
Supponi che x-y sia di tipo causale e t(x) > t(y), allora questo deve
rimanere cambiando riferimento: t'(x) > t'(y). Dalla definizione di T
prodotto verifichi subito che, in tal caso Tf(x)f(y) = T'f(x)f(y).
Lo stesso ragionamento vale se t(y) > t(x) con x-y causale.
Nel caso che x-y sia di tipo spazio, valendo:
[f(x), f(y)] = 0 se x e y sono causalmente separati, cioe' il segmento
x-y e' di tipo spazio
ottieni che il T prodotto non ha alcun effetto:
Tf(x)f(y)= f(x)f(y) = f(y)f(x)
Dato che l'essere x-y causalmente separati e' un fatto assoluto, non
dipendente dal riferimento, nel caso in esame otterresti anche
T'f(x)f(y)= f(x)f(y) = f(y)f(x)
e quindi
Tf(x)f(y)= T'f(x)f(y)
Quindi in _tutti i casi_
Tf(x)f(y)= T'f(x)f(y)
purche' i riferimenti siano connessi da una trasformazione del
sottogruppo ortocrono.
Purtroppo non posso scrivere di piu' (per i fermioni ci sarebbe
ancora da dire qualcosa).
Ma sono troppo impegnato e chissa' quando riusciro' a re-replicare
alle tue repliche. Spero che Elio possa intervenire al
mio posto...
Ciao, Valter
------------------------------------------------
Valter Moretti
Faculty of Science
Department of Mathematics
University of Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Mon Oct 25 2004 - 10:18:43 CEST