"Michele Andreoli" <m.andreoli_at_tin.it> wrote in message
news:d0fdd.61346$b5.3029244_at_news3.tin.it
> lux ebbe a scrivere:
>
> > Mi aspettavo un'obiezione del genere, ma non a caso ho scritto:"se
> > vogliamo dirla in un altro modo"; infatti non puoi negare che F sia
> > una soluzione a simmetria iperbolica dell'equazione di Klein-Gordon
> > a massa nulla, cosi' come 1/r e' una soluzione a simmetria sferica
> > dell'equazione di Laplace.
>
> Ah ho capito: hai proceduto come quando si cerca il quadripotenziale
> A(x) generato da una carica puntiforme, quando si rappresenta la
> densita' di carica come una delta. La soluzione (che e' un potenziale
> ritardato) e' effettivamente del tipo 1/r, ma ci vuole la condizione
> addizionale sulla propagazione del segnale t=r/c. Comunque, 1/r non
> e' lo stesso che 1/(r^2-t^2) ...
Perche' il laplaciano non e' in 3D ma in 4D.
Vediamo, alla buona come dimostrare che la parte principale a frequenza
positiva di 1/(t^2-x^2) e' soluzione dell'equazione di Green. Se poniamo
t -> i t e mettiamo alla delta il coefficiente che deriva dal
cambiamento dell'elemento di volume troviamo laplaciano F = i delta. Si
tratta di un laplaciano euclideo che ha una soluzione semplice in analo-
gia con l'equazione di Poisson allorche' le densita' che consideriamo
hanno la stessa forma delle densita' per l'equazione di Poisson. Ovvero
proprio k/2 i / s^2 dove s e' l'intervallo. Mentre k e' la normalizza-
zione pari all'inversso dell'ipersuperfice della sfera in dimensione
quattro. Il coefficiente � viene dal fatto che il campo il cui flusso e'
conservato e' il gradiente della soluzione ovvero vogliamo imporre che
-ik/s^3 integrato sulla superfice sia pari ad uno. Siccome la superfice
in dimensione quattro e' 2(pi)^2 questo fattore di normalizzazione e'
1/2(pi)^2. Allora troviamo che la funzione di Green cercata e'
i/(2pi)^2 * 1/(s^2). Che funziona bene solo se le densita' su cui e'
convoluta hanno un comportamento asintotico in zero adeguato. Questa
funzione di Green comunque non e' nulla fuori dal cono luce.
Tornando alle variabili reali l'algebra procede allo stesso modo ed ora
se scegliamo la regolarizzazione che scelse Feynmann, mi riferisco ad
esempio al volume "Quantum mechanics and path integrals". Li' usa quella
che chiama F(t,x) = i/[(2pi)^2(t^2-x^2-ieps)] e dice che questa e'
uguale a 1/(4pi) delta+(t^2-x^2) dove definisce delta+(x) come lim per
eps che tende a zero di - pi i/(x -i eps).
Ora ci sono delle incongruenze. Da una parte Fabri dice che
F(t,x) = - 1/(2pi) delta+(t^2-x^2), che e' una formula diversa da
quella riportata da Fabri, dall'altra se uno sostituisce
la definizione di delta+ di Feynman nella formula che lui scrive trova
un'altra espressione rispetto a quella del rigo sopra. Sembra
allora che la definizione corretta debba essere
delta+(x)=-1/(i pi)(x-ieps).
Ora l'unica formula di cui mi fido e' quella del primo rigo scritto
da Feynman che corrisponde con quella che ho trovato anch'io dalla
valutazione indiretta che ho indicato sopra. Con un poco di laboriose
elaborazioni trovo che questa funzione puo' essere riscritta come
D+(t,x) theta(t) + D-(t,x) theta(-t) dove le funzioni D+ e D-
sono i valori di aspettazione di [phi+(t,x),phi-(0)] ed il valore
di aspettazione di [phi-(t,x),phi+(0)]. Dunque si tratta di soluzioni
della parte omogenea dell'equazione di Klein Gordon. Ma c'e'
una differenza. Queste due soluzioni sono ora incollate nella
sezione t=0 su questo piano c'e' dunque una condizione di discontinuita'
nelle derivate che da' luogo alla funzione delta quanto applico il
D'alambertiano.
C'e' un altro modo di ottenere il propagatore di Feynmann, ovvero
prendere il propagatore di Lienard Wiechert che sarebbe il D_ret
scritto dal Fabri e togliere la componente a frequenza positiva di
D(t,x) = [phi(t,x),phi(0,0)] ovvero D+(t,x). E poi un modo piu'
simmetrico che consiste nel prendere D_ret sommargli D_adv e
sommare al risultato una soluzione dell'omogenea.
Infine voglio proporre questa osservazione: esiste una soluzione
simmetrica per l'equazione di Green che pero' mi sembra che non
sia usata. Si tratta di 1/2[D_ret+D_adv]. E' simmetrica per inversione
temporale e per parita', ed inoltre e' causale. Anzi a dire la verita'
e' nulla ovunque eccetto che sul cono luce. Perche'?
Ed ancora una domanda: cosa cambierebbe se uno usasse funzioni
di Green non simmetriche. Faccio presente che la risposta non e'
ovvia dato che ogni ampiezza implica in effetti la valutazione di
una gerarchia infinita di funzioni di Green, ma mi piacerebbe sapere
se qualcuno in qualche articolo o in qualche pubblicazione ha
affrontato questi temi.
Uno mi puo' rispondere che il teorema di Wick ed il T ordinamento
implicano necessariamente quelle funzioni di Green e non altre. Ma io
obietto che il punto delicato di tutta la faccenda e' proprio il
T ordinamento. Il T ordinamento implica una nozione di simultaneita'
ampiamente discutibile dal punto di vista logico. In primo luogo
il T ordinamento implica sezioni di raccordo differenti per ogni
sistema di riferimento in altre parole la trasformata della funzione
di Feynmann non e' la nuova funzione di Feynmann.
Thanks in advance.
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Received on Thu Oct 21 2004 - 15:47:05 CEST