Re: ma che volevi dire feynman?

From: lux <lux_at_hacari.org>
Date: Mon, 18 Oct 2004 22:08:44 GMT

>>bene, fey qui sta parlando di una funzione di green dell'equazione
>>di klein-gordon a massa nulla, o se vogliamo dirla in un altro
>>modo di una soluzione a simmetria iperbolica della suddetta
>>equazione, infatti
>>
>>(d^2/dt^2 - d^2/dx^2 - d^2/dy^2 - d^2/dy^2) F(t,x,y,z) = 0
>
>
>
> Aspettando che gli esperti (quelli veri, quelli buoni) rispondano,
> intanto qui ci vorrebbe una delta di Dirac al secondo membro, non uno
> zero. A meno che tu non sia gia' con i quadrimpulsi, ed allora ci
> vuole un 1 a secondo membro.

Mi aspettavo un'obiezione del genere, ma non a caso ho scritto:"se
vogliamo dirla in un altro modo"; infatti non puoi negare che F sia una
soluzione a simmetria iperbolica dell'equazione di Klein-Gordon a massa
nulla, cosi' come 1/r e' una soluzione a simmetria sferica
dell'equazione di Laplace. Entrambe sono poi delle funzioni di Green,
quindi vedi che richiedere una simmetria a centro sulla soluzione
dell'equazione omogenea "equivale" in qualche modo ad aggiungere la
delta a secondo membro. Ho scelto questa linea espositiva perche' e'
molto piu' semplice verificare la seconda asserzione (l'altro modo)
piuttosto che la prima (l'equazione con la delta).

>
>
>>F(t,x,y,z) = F(I) = 1/(x^2 + y^2 + z^2 - t^2)
>>
>>I = x^2 + y^2 + z^2 - t^2
>
>
> Anche qui, mi sembra un po' confusa la cosa. E' come se stessi
> risolvendo in ambito delle trasformate di Fourier; ma allora
> dev'essere F=1/(p^2-m^2).

Non ho fatto altro che ripetere quello che scrive Feynman. A te
verificare che:

(d^2/dt^2 - d^2/dx^2 - d^2/dy^2 - d^2/dy^2) F(t,x,y,z) = a delta(t,x,y,z)

cosi' trovi anche il valore della costante a. Per quanto riguarda la
trasformata di Fourier di F sai benissimo che se non definisci l'insieme
di integrazione l'espressione che hai scritto e' priva di senso. Ti
faccio notare che nel caso che stiamo considerando m = 0.

>>come si collega tutto cio' alla teoria dei campi?
>>
>>in teoria dei campi si definisce il propagatore per una particella
>>scalare a massa nulla come:
>>
>>D(A,B) = <0|T[f(B)f(A)]|0>
>
>
> Quel che so io e' che la funzione D(x,t)=<0|T f(x,t)f(x0,0)|0>,
> soddisfa "quasi" la stessa equazione cui soddisfa f(t) ma, a causa
> dell'ordinamento temporare T, nel secondo membro si produce una
> funzione delta; che e' quello che si vuole per avere una funzione di
> Green.

Se vuoi dire che:

(d^2/dt^2 - d^2/dx^2 - d^2/dy^2 - d^2/dy^2) D(t,x,y,z) = b delta(t,x,y,z)

sono d'accordo. Ma anche F soddisfa questa equazione. Solo che D e' la
somma di due funzioni di Green ritardate (per questo ci piace tanto), F
mi pare proprio di no.

> La funzione D(x,t) ha rappresentazioni integrali di vario tipo,
> compresa la rappresentazione a "cammini" di Feynman.

Qui non ti seguo.


> Nel caso della particella libera, si conosce il valore in forma chiusa, che e' detto
> "propagatore di Feynman" tout-court. Ma (e qui inizia la parte
> lacrimevole della storia), la forma semplificata che hai dato tu
> all'inizio non coincide con nessuna di queste rappresentazioni.

Lo so che F sui libri di fisica non si trova, da cui la necessita' di
questo thread. Per l'idea che mi sono fatto, usare F al posto di D non
dovrebbe fare differenza. Ma qui ci vorrerebbe il parere di un esperto,
di quelli buoni, come hai detto :-).
Received on Tue Oct 19 2004 - 00:08:44 CEST