Immaginiamo un tappo di sughero galleggiante in acqua.
Per questioni legate alla tensione superficiale (e anche in parte per
questioni gravitazionali) si deve compiere un certo lavoro per sollevarlo
leggermente. Ipotizziamo di spendere un certo lavoro L per alzare il tappo
di deltah.
A questo punto lasciamo il tappo e osserviamo l'evoluzione del nostro
sistema.
Facciamo l'ipotesi che non ci siano attriti, eventualmente ipotizziamo il
tappo incollato ad una membrana elastica infinitamente estesa e supponiamo
che la membrana possa vibrare senza attrito.
Il tappo iniziera' naturalmente ad oscillare e sul pelo dell'acqua si
osserveranno delle onde che si allontanano sempre piu' dal tappo stesso.
L'energia immagazzinata grazie al lavoro L che abbiamo compiuto dall'esterno
inizialmente e' "concentrata" in prossimita' del tappo: all'istante iniziale
(trascurando l'energia gravitazionale) ce la ritroviamo tutta come energia
elastica della membrana la quale ha curvatura non nulla solo in prossimita'
del tappo, dopo un quarto di periodo della prima oscillazione ce la
ritroviamo in gran parte come energia cinerica del tappo che sta oscillando
e la restante parte come energia elastica.
Poiche' ad ogni oscillazione "parte" una nuova onda, e poiche' l'energia
immagazzinata nelle onde di superficie si propaga verso l'esterno, e' ovvio
che con l'andare del tempo l'energia "del tappo" diminuisce sempre di piu'
(con "energia del tappo" possiamo intendere l'energia cinetica che ha il
tappo quando passa per la posizione di equilibrio).
La riflessione che faccio, in forma di domanda, e' la seguente:
il problema sopra esposto puo' farci concludere che e' impossibile che i
tappi di sughero oscillino in acqua in quanto se anche non fossero
all'equilibrio in un dato istante pian pianino la loro energia verra'
irradiata tutta? Possiamo dire che se cedessimo una energia L al tappo dopo
un po' il tappo sara' fermo e sull'acqua ci ritroveremo delle onde la cui
energia totale sara' pari ad L?
A me pare che tali conclusioni si possano si' trarre ma al prezzo di
aggiungere una pesantissima ipotesi: dobbiamo immaginare che il nostro
sistema sia totalmente descritto dai componenti che abbiamo preso in
considerazione. In particolare dobbiamo ad esempio ipotizzare che l'acqua in
cui e' immerso il sughero sia quella di un oceano infinitamente esteso in
quanto se per caso fosse l'acqua di una bacinella allora le onde che si
propagano dal tappo prima o poi tornerebbero e noi, nella nostra descrizione
***non abbiamo tenuto conto*** della interazione fra il tappo e le onde che
il suo moto ha generato.
Se anche l'acqua fosse quella di un oceano infinitamente esteso ma il tappo
non fosse solo in questo oceano, se nell'oceano fossero disposti un certo
numero di tappi per unita' di superficie i quali in un dato istante avessero
in media una energia E, sara' vero che il tappo iesimo iniziando ad
oscillare generera' delle onde che, in un certo senso, non torneranno piu',
ma esso sara' certamente investito da tutte le altre onde generate dagli
altri tappi j con j diverso da i.
Immagino sia chiaro dove voglio andare a parare:
chiudiamo due cariche di intensita' uguali e segno opposto all'interno di
una cavita' avente le pareti perfettamente riflettenti. Possiamo anche
immaginare la carica positiva fissa in un dato punto e la negativa libera di
muoversi. L'esterno della cavita' ha massa infinita, cosi' non rincula
quando viene investito dalle onde che si riflettono all'interno, in sostanza
dalla cavita' non esce energia in alcun modo (similmente potremmo immaginare
una situazione nella quale esca tanta energia quanta ne entra). La carica
negativa iniziera' ad orbitare attorno alla positiva, il suo moto sara'
accelerato quindi la carica "perdera' energia" per irraggiamento, ma questo,
mi pare, sara' solo l'inizio della storia. Anche il nostro tappo di sughero
inizialmente perde energia, poi, dopo un po', si instaurera' una situazione
di equilibrio dinamico: non essendoci attrito all'equilibrio si avra' un po'
di energia elastica e un po' di energia del tappo.
Per il tappo nella bacinella si possono anche individuare delle situazioni
stazionarie: dati massa del tappo, accelerazione di gravita', tensione
superficiale del liquido, raggio della bacinella, si potranno individuare le
frequenze di risonanza alle quali saranno associate le autosoluzioni e,
sotto ipotesi che immagino siano abbastanza generali, si potra' esprimere
una qualsiasi soluzione come combinazione lineare delle autosoluzioni.
Quello che io non ho mai capito e' dove sta la sostanziale differenza fra il
problema del moto del tappo di sughero nella bacinella e il problema di due
cariche, una fissa nell'origine e l'altra orbitante attorno ad essa. Non
capisco quale e' il motivo per il quale nel secondo caso si conclude che
l'elettrodinamica classica non puo' dar luogo a soluzioni stazionarie mentre
la stessa conclusione non si ha per il primo caso. A me pare che nel
discorso che viene fatto spesso nei libri di testo si trascurino totalmente
gli effetti dovuti all'interazione fra le onde generate dalla carica
accelerata e la cavita' in cui e' immersa (e le successive conseguenze che
tali interazioni avranno con la carica stessa). Immagino che possano anche
esserci dei motivi a supporto di una semplificazione cosi' brutale, pero' io
tali motivi non li ho mai letti da nessuna parte.
Inoltre a me pare che finche' non si dara' un definizione di sfera rigida di
raggio finito r il problema delle due cariche nella cavita' non potra'
essere risolto. Ammettendo che il sistema riesca a trovare una soluzione
stazionaria si potra' sperare che tale soluzione non preveda velocita'
relativistiche per la carica in moto, cosi' definire la sfera rigida in
sostanza non costituira' problema, ma se diciamo che la carica in moto
seguira' orbite a raggio sempre minore con velocita' sempre maggiore allora
dovremo necessariamente fare i conti con una carica (che verosimilmente
dovremmo descrivere come sferetta rigida) che raggiunge velocita'
relativistiche.
Grazie in anticipo a chi vorra' illuminarmi.
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Received on Sun Oct 10 2004 - 14:52:37 CEST