"Winston Smith" <wsmith_at_despammed.com> wrote in message
news:1l7hxa34nttvy$.1132g810e6075$.dlg_at_40tude.net
>
> Recuperando i messaggi di quest'estate (periodo nel quale non ho potuto
> seguire il newsgroup) ho letto un interessante thread tra Elio Fabri e
> Gianmarco Bramanti sulle rappresentazioni dei gruppi di Lie.
> Nella discussione veniva sollevato, tra gli altri, il problema di come
> l'algebra di Lie del gruppo di Lorentz si possa mettere in
> corrispondenza con quella di SU(2), e mi sembra che questo discorso sia
> rimasto in sospeso. Siccome recentemente ho avuto modo di studiare un
> po' queste cose forse posso chiarire la questione.
Grazie per l'attenzione anzitutto. Penso che la risposta la
dara' Fabri che ha studiato questi argomenti con molta piu'
attenzione ed ha molta piu' esperienza. Io provo a ragionare
insieme a te, fin dove ti seguo.
> Premessa: sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sui reali.
> L'insieme C dei numeri complessi � a sua volta, banalmente, uno spazio
> lineare sui reali di dimensione 2. Possiamo allora formare il prodotto
> tensoriale C * V (qui e nel seguito indico con * il simbolo di prodotto
> tensoriale, cio� il per nel circoletto), che sar� uno spazio lineare di
> dimensione 2n sui reali. Possiamo poi definire un prodotto tra numeri
> complessi e elementi di C * V ponendo
>
> w (z * v) = (wz) * v
>
> per ogni w,z in C e v in V. Quindi C * V si pu� vedere anche come uno
> spazio lineare i cui elementi sono gli stessi di V, ma in cui ha senso
> prendere combinazioni lineari a coefficienti complessi. Questo spazio si
> dice la complessificazione di V e ha dimensione *complessa* n (pari alla
> dimensione reale dello spazio di partenza V).
Esatto.
> Stabilito ci�, veniamo al gruppo di Lorentz proprio ortocrono, che
> chiamo SO(1,3). La sua algebra di Lie so(1,3) si ricava con metodi
> standard e consiste nello spazio lineare reale delle matrici 4x4
> "antisimmetriche" (nel senso della metrica Minkowskiana);
Per l'esattezza derivando la condizione di isometricita':
ovvero L^t G L = G nei pressi dell'identita'.
essa ha
> dimensione (reale) 6. Una sua base molto usata � quella formata dai tre
> generatori delle rotazioni attorno agli assi spaziali R_k e dai tre
> generatori dei boost lungo le medesime direzioni B_k (k=1,2,3).
Giusto: quelli che conosco con in nomi di J e K. Da questi
costruisco l'algebra (J+iK)/2 e (J-iK)/2 e quest'algebra e'
isomorfa con l'algebra di su(2) x su(2). Ora quello che ho
sempre pensato e' che doveva verificarsi questo risultato:
la complessificazione di quest'algebra deve essere la stessa
come la complessificazione dell'algebra del gruppo di Lorentz,
ed a sua volta la complessificazione dell'algebra del gruppo di
Lorentz deve essere l'algebra del complessificato del gruppo
di Lorentz.
> Mettiamoci ora nella complessificazione di tale algebra, C * so(1,3).
> Qui hanno senso, come detto, le comb. lin. a coefficienti complessi,
> quindi possiamo definire una nuova base data dalle matrici
>
> T_k = 1/2 (R_k + i B_k)
> T'_k = 1/2 (R_k - i B_k)
>
> Si constata che i T e i T' soddisfano separatamente delle regole di
> commutazione del tipo
>
> [T_i,T_j] = epsilon_ijk T_k
>
> che sono proprio quelle che definiscono l'algebra di Lie su(2). Inoltre
> ciascun T commuta con ciascun T'; questo mostra che l'algebra C *
> so(1,3) � isomorfa alla somma diretta di due copie di su(2), o meglio
> alla loro complessificazione dato che anche su(2) �, per nascita,
> un'algebra di Lie reale (infatti � data dalle matrici 2x2 complesse
> anti-hermitiane a traccia nulla; ci si rende conto facilmente che questo
> spazio � chiuso per combinazioni lineari reali, ma non per comb. lin.
> complesse).
Esatto, convergiamo. Non saprei
come definire in generale la complessificazione di un gruppo, ma
per esempio Haag la definisce come l'algebra delle matrici
complesse, in luogo che reali, che verificano la condizione di
isometria. Per esempio posso considerare la complessificazione di
O(2) pero' non saprei come intendere la complessificazione di gruppi
con condizioni ausiliarie che non siano di tipo algebrico. Sta di fatto
che mi sembra che la complessificazione dell'algebra di un gruppo
sia proprio l'algebra del gruppo complessificato quando questo
puo' essere definito.
> Dunque l'isomorfismo sussiste tra C * so(1,3) e la somma diretta
> C * su(2) + C * su(2). In genere per� le complessificazioni vengono
> sottintese; questo modo di procedere non � ambiguo, perch� si dimostra
> che se D � una rappresentazione complessa di un'algebra di Lie reale V,
> esiste un'unica rappresentazione complessa D' di C * V che coincide con
> D sugli elementi reali di C * V; questa rapp. si dice l'estensione
> olomorfa di D. (Per chi si chiedesse com'� definita, nella maniera
> ovvia: D'(X + iY) = D(X) + i D(Y).)
Corretto, ma che interplay c'e' fra l'inviluppo di quest'algebra ed
il gruppo complessificato? Forse non ha alcuna pertinenza con il
problema, pero' mi ricorda una metodologia sviluppata da Cailey
per studiare le matrici, la cosiddetta decomposizione polare,
ha a che fare con la possibilita' di scrivere una generica
matrice come il prodotto di una matrice unitaria per una matrice
hermitiana. Esistono equazioni matriciali che si semplificano
utilizzando una forma di complessificazione del gruppo.
> Per finire, un punto che non mi � del tutto chiaro: abbiamo detto che
> su(2) � l'algebra delle matrici 2x2 anti-hermitiane e a traccia nulla.
> Se la complessifichiamo, il requisito di anti-hermitianit� cade e
> rimaniamo con l'algebra di Lie delle matrici 2x2 a traccia nulla; quindi
> C * su(2) = sl(2,C). Ne segue che C * so(1,3) � isomorfa a due copie di
> sl(2,C). Quello che non ho ancora capito � se questo c'entri qualcosa
> con il fatto che SL(2,C) (stavolta il gruppo, non l'algebra) � il
> ricoprimento universale di SO(1,3)...
Rimarchevole. E' sicuramente indice di un fatto piu' generale.
Cioe' ti chiedi se questo e' un caso o una circostanza generale.
Cosa ne dici?
Provo a studiare un poco di situazioni per vedere se la nebbia si
dirada: torno ad SO(2) la complessificazione dell'algebra di SO(2) e'
l'insieme delle matrici complesse antisimmetriche due per due. Se
considero solo la sezione reale dell'algebra ritrovo SO(2) come
sottogruppo dell'inviluppo dell'algebra complessificata e poi trovo un
gruppo strano che somiglia ad SO(1,1) ma ha una forma differente. Questi
sono sottogruppi del gruppo generato sostituendo all'argomento
della parametrizzazione trigonometrica di SO(2) un numero
complesso. Ora Cos(ia) = cosh(a) e Sen(ia) = - i senh(a).
In questo caso l'esponenziale si scrive in forma chiusa facendo
ricorso alle funzioni trigonometriche complesse. E mi sembra che
non abbiamo guadagnato particolari vantaggi ma perche' la
dimensione di questo gruppo e' uno.
Se invece consideriamo SO(3)
troviamo che l'algebra di SO(3) e' isomorfa all'algebra di SU(2)
la complessificazione di SU(2) e' come hai notato prima l'algebra
di SL(2,C) che pero' non e' rivestimento universale di SO(3).
Quello di cui sono certo e' che la complessificazione dell'algebra
indebolisce la possibilita' di ottenere un gruppo compatto.
Rimarchevole oltremodo che la complessificazione dell'algebra
del momento angolare sia isomorfa all'algebra del ricoprimento
universale del gruppo di Lorentz.
Allora facciamo un passo avanti. Se partiamo da O(3) abbiamo
anche la parita'.
Se considero la classe laterale I*SO(3) dove I e' l'inversione
spaziale trovo un isomorfismo fra O(3) ed SO(3)xZ2. Se faccio la
complessificazione dell'algebra di SO(3) ho trovato un modo per
costruire SL(2,C) x Z2 da O(3), ora c'e' da fare una contorsione:
SL(2,C) = (SL(2,C)/Z2)xZ2 dove dentro parentesi c'e' un oggetto
che e' isomorfo con la componente ortocrona speciale del gruppo
di Lorent. Questo permette di osservare che la complessificazione
di SO(3)xZ2 riveste il gruppo di Lorentz intero che e' fatto
di quattro componenti. Rimango con un dubbio: se avessi
complessificato O(3) avrei ottenuto lo stesso risultato?
Pero' mi chiedo: e' vero che complessificare il gruppo delle
matrici anti-hermitiane a traccia nulla equivale a considerare
il gruppo delle matrici complesse a traccia nulla? Fondamentalmente
questo significa solo che se ho una matrice complessa a traccia nulla
A posso esprimerla come combinazione complessa di matrici antihermitiane
a traccia nulla. Ed in effetti:
(A-A^h)/2 - i[ i(A+A^h)]/2 = A
Sara' vero che, ad esempio: la complessificazione di SO(n)xZ2
conduce al gruppo O(n,1)? Ho idea che non funzionerebbe il
conteggio dimensionale. Ed allora a che gruppo conduce per esempio
la complessificazione di SO(n)? Quel che so e' che SO(n) ha un
ricoprimento universale dato dall'algebra di spin. Spin(n), che nel
caso di SO(3) corrisponde ad SU(2), e' data dall'algebra di Clifford:
poniamo le regole di anticommutazione: (e_i,e_j) =
= -2*delta_ij Poniamo poi L_ij = 1/2 e_i * e_j.
In virt� delle regole di anticommutazione risulta che L_ij
� l'algebra delle rotazioni. Tuttavia le regole di anticommutazione
permettono di calcolare esplicitamente il valore di exp(t^ij L_ij)
quello che otteniamo � un gruppo connesso ed esponenziale per costruzio-
ne. Si dimostra anche che questo gruppo � semplicemente connesso ed �
dunque il rivestimento universale di SO(n): siccome il quadrato di
L_ij vale -1/4 ottieni exp(t(l_ij))= cos(t/2)+ 2*L_ij*sen(t/2). Questo �
un doppio rivestimento di SO(n). In generale non e' vero che si
possa costruire una rappresentazione concreta delle L_ij
in termini di matrici complesse antihermitiane di dimensione
(n-1). Dunque in generale non otterremo SL(n-1,C) ed in generale
non sara' nemmen vero che questo e' un rivestimento universale
per un gruppo SO^(n,1). Quindi abbiamo che di fatto il nesso
fra tre dimensioni spaziali e il gruppo nelle sei dimensioni
dinamiche fornito dalla complessificazione e che porta
al gruppo di Lorentz e' speciale. Pero' non saprei fornire ulteriore
spessore a questa concatenazione di ragionamenti alchemici.
Conosco dei risultati noti: in sei dimensioni spaziali la
complessificazione porterebbe ad O(5,1). La complessificazione
di SO(4) conduce al rivestimento del gruppo di Lorentz
complessificato. Almeno questi mi sembrano dei risultati
plausibili, occorrerebbe controllare atlanti alla mano.
La circostanza che O(4) sia il gruppo di simmetria dinamica
associato con il problema di Keplero mi sembra almeno a questo
livello un fatto del tutto casuale, qualcuno potrebbe pero'
leggervi il segno di una connessione piu' profonda fra
le dimensioni spaziali ed il gruppo di lorentz e l'elettromagnetismo.
La circostanza che SU(3) non e' emerso a questo livello e che tuttavia
abbia un ruolo nella fisica della linearita' ancora mi sembra degno di
nota, ma nulla piu' che una considerazione alchemica a questo livello
di comprensione.
Todo passa, nada passa (non proprio gattopardesco).
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Received on Tue Oct 05 2004 - 03:09:45 CEST