Re: Sulla corrente di quantità di moto

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_fastwebnet.it>
Date: Sun, 16 Feb 2020 11:07:14 +0100

Soviet_Mario ha scritto:
> questa domanda (o meglio la risposta) emerge in modo
> straordinariamente ricorrente quando chiedono come mai un
> buco nero ti distrugga (effetto "spaghetti").
Sulla "spaghettificazione" io ho i miei dubbi (v. dopo).
Straordinaria la capacità che hai di porre domande mentre poi non sei
in grado di capire la risposta :-)
Guarda che quanto sopra non è spregiativo: è una cosa che mi dà da
pensare.
Se penso a come risponderti, posso cercare di semplificare quanto
posso, ma come sai non sono disposto ad andare oltre il punto in cui
si travisa totalmente la questione.
Ma bando alle chiacchiere: ora vedrai :-)

Anticipo una tua osservazione successiva:
> 1-0 per te. L'idea del manichino è molto più farraginosa rispetto a
> questo provino fatto da due sfere e un filo campione che le collega.
In realtà non è farraginosa: è un altro problema.
Quello delle due sfere è un passo forse necessario, ma non rende
l'idea di quello che succederebbe in realtà al manichino o all'uomo.

La differenza è che per le due sfere legate da una bacchetta (non un
filo, vedi dopo) ci sono solo le forze di gravità sulle due sfere e di
conseguenza una tensione della bacchetta.
Se la tensione supera il carico di rottura la bacchetta si spezza.

Invece nel caso del manichino la forza di gravità è ripartita su tutto
il suo volume e di conseguenza si produce una tensione interna che va
crescendo verso il centro (ma qui ci vuole un conto).
Quindi non si staccherebbero i piedi, ma si spezzerebbe in due grosso
modo alla vita.

La spaghettificazione deriverebbe dal fatto che c'è anche una
*pressione* in senso trasversale.
Quindi il manichino viene tirato fra testa e piedi, e premuto
trasversalmente. Ecco perché si pensa che dovrebbe allungarsi e
assottigliarsi.
Ma il fatto è che la pressione trasversale è minore della trazione
longitudinale, nel rapporto delle due dimensioni.
E se il manichino si allunga e si assottiglia questo rapporto aumenta.
Quindi l'effetto pressione finisce per essere trascurabile.

Qui entrano le proprietà meccaniche del materiale: se si deforma
conservando il volume, allungandosi si assottiglia per forza, anche
senza pensare alla pressione.
Inoltre l'allungamento fa aumentare la tensione, quindi facilita il
raggiungimento del carico di rottura.

Se assumi che la deformazione sia poco importante, possiamo trattare
il manichino come un corpo rigido, solo con carico di rottura finito,
e chiederci quello che chiedi tu:
> Data la massa M di un buco nero (famo cifra tonda: M = 10 masse
> solari), e la resistenza media di una persona, oppure facciamo pure
> prima una persona manichino di plastica morbida di yield strength > 10 MPa, a che distanza dal centro di massa del buco nero gli si
> strapperebbero i piedi dalle caviglie più o meno?

Le domande successive sono secondarie:
> Accadrebbe al di qua o al di là dell'orizzonte degli eventi?
> La forma del manichino e l'orientazione assunta in caduta è critica,
> vero? Come sarebbe più semplice orientare la traiettoria e il moto
> del manichino per fare più agevolmente la stima?

Ora qualche conto.
Due sferette di massa m legate da una bacchetta lunga 2l, di massa
trascurabile.
Il tutto si trova nel campo grav. di un corpo sferico di massa M.
Il centro delle masse sta a distanza r dal centro del corpo.
Considero due situazioni:
a) la bacchetta è in direzione verticale
b) " " in dir. orizzontale.
Mi metterò sempre nel rif. (inerziale) in cui M è fermo.
Il sistema delle due masse sia in caduta libera verticale.

a) Calcoliamo la risultante delle forze sulle due masse.
F = GMm[1/(r-l)^2 + 1/(r+l)^2] = 2GMm (r^2 + l^2)/(r^2 - l^2)^2.
Si vede che
F > F0 = 2GMm/r^2
che sarebbe la forza risultante se le due palline si trovassero
entrambe nel centro.
Quindi il sistema cade con accelerazione
a = GM (r^2 + l^2)/(r^2 - l^2)^2
maggiore di quella di un punto materiale posto a distanza r dal
centro di M.
Naturalmente vale sempre il teorema del cdm, che ho applicato: il cdm
del sistema cade con accel. F/(2m), ed essendo rigido anche le due
palline hanno la stessa accel.

Consideriamo la pallina superiore che dista r+l da M.
Se fosse libera, cadrebbe con accel. GM/(r+l)^2 < a
Visto che cade con accel. a, vuol dire che è soggetta a un'ulteriore
forza verso il basso, di grandezza
ma - GM/(r+a)^2 = 2GM rl/(r^2 - l^2)^2.
Questa forza è dovuta alla bacchetta.

Per la pallina inferiore abbiamo un'accel. a inferiore a quella che
avrebbe se fosse libera.
Esiste dunque una forza verso l'alto, che vale (in val. assoluto)
GMm/(r-a)^2 - ma = 2GMm rl/(r^2 - l^2)^2.
Ancora dovuta alla bacchetta.
Queste sono le *forze di marea*, che si sentirbbero anche se ci
mettessimo in un rif. che cade col sistema palline + bacchetta.
Risultato: la bacchetta è soggetta a una *tensione*
T = 2GM rl/(r^2 - l^2)^2
Se l<<r possiamo approssimare
T =~ 2GMm l/r^3 (1)
(notare la dipendenza da r^3. tipica delle forze di marea).

Sia K il carico di rottura della bacchetta. Questa si spezzerà se T>=K,
ossia
r^3 <= 2GMml/K.
Se M è un buco nero (di Schwarzschild) l'orizzonte degli eventi sta a
R = 2GM/c^2. Quindi la rottura si ha per
r^3 <= (mc^2 R l)/K.
Non c'è una relazione semplice tra r e R.
Lascio al lettore di provare che cosa succede con valori ragionevoli
dei parametri.

b) Di nuovo calcoliamo la risultante.
La distanza delle palline da M è sqrt(r^2 + l^2), quindi ciascuna
pallina sente una forza
F1 = GMm/(r^2 + l^2).
Però le due forze non sono parallele, in quanto dirette entrambe verso
il centro di M. Facendo i conti la risultante vale
F' = 2GMmr/(r^2 + l^2)^(3/2) < F0.
Quindi ora l'accel. del cdm è minore.

Ma è più interessante osservare che la forza su ciascuna pallina ha
una componente diretta verso il cdm, che vale
F" = GMml/(r^2 + l^2)^(3/2).
Dato che la distanza tra le palline non può variare, F" deve essere
compensata da una forza verso l'esterno dovuta alla bacchetta.
Per reazione questa è *compressa* con ugual forza ed è quindi soggetta
a una tensione negativa:
T = -GMml/(r^2 + l^2)^(3/2).
Nella solita approssimazione:
T =~ --GMml/r^3
che è metà della (1) oltre ad avere segno opposto.
Ecco perché ci vuole una bacchetta: un filo si allenterebbe e
lascerebbe avvicinare le palline.

************************

Ora passiamo al manichino.
Lo schematizzo come un cilindro, altezza 2l, raggio di sezione b.
Indicherò con s l'area della sezione: s = pi*b^2.
Assumerò b<<l.
La massa del cilindro è
m = 2*rho*s*l (rho = densità).

Il cilindro cade verticalmente nel solito campo.
Calcoliamo la risultante delle forze di gravità.
Assumo un asse z con origine nel centro del cilindro e orientato verso
l'alto.
A differenza del caso dele duepalline, qui converrà fare attenzione ai
segni. Forze e accel. sono date col segno positivo verso l'alto.

Attenzione: non sto assumendo un rif. che cade col cilindro.
Fisso un certo r e prendo l'origine di z in un punto a quel valore di r.
Il cilindro cade e a un certo istante il suo centro passa per quel
punto.
Tutti i calcoli si riferiscono a quel particolare istante.

Su una fettina posta a una quota z rispetto al centro, e di spessore
dz, agisce una forza
dFgr = -GM*s*rho*dz/(r+z)^2 (2)
che integrata su z da -l a +l dà
Fgr = -2GM*s*rho*l/(r^2 - l^2) = -GMm/(r^2 - l^2).
Si vede che |F| < |F0| = GMm/r^2.
L'accel. di caduta è
a = -GM/(r^2 - l^2).

Riprendiamo la fettina: data a, la forza risultante agente è
dFris = a*s*rho*dz = -GM*s*rho*dz/(r^2 - l^2) (3)
che differisce dalla (2).
Infatti la (3) è la somma di tre forze:
- la forza di gravità (2)
- la spinta verso il basso in z dovuta alla tensione in z: -s*T(z)
- la spinta verso l'alto in z+dz dovuta alla tensione in z+dz:
s*T(z+dz).

Quindi
-GM*s*rho*dz/(r^2 - l^2) = -GM*s*rho*dz/(r+z)^2 - s*T(z) + s*T(z+dz)

dT/dz = GM*rho[1/(r+z)^2 - 1/(r^2 - l^2)].

Integrando su z:

T(z) = -GM*rho[1/(r+z) + z/(r^2 - l^2)] + c (4)

(c è una costante arbitraria).
Si vede che
T(l) = T(-l) = -GM*rho*r/(r^2 - l^2) + c.
Ma deve essere T(l) = T(-l) = 0
quindi

c = GM*rho*r/(r^2 - l^2)

e dalla (4)

T(z) = GM*rho/[(r^2 - l^2)] * (l^2 - z^2)/(r + z).

Con la solita appross. trascuriamo l e z rispetto a r:

T(z) =~ [GM*rho/r^3] * (l^2 - z^2).

Si vede che T va come 1/r^3, si annulla agli estremi ed è massima al
centro:

Tmax =~ GM*rho*l^2 / r^3 = GMm*l/(2s*r^3).

A questo punto si può fare il conto.
Si trova (salvo errori) r = 730 km mentre il raggio di Schwarzschild
vale circa 30 km.
                                                                  

-- 
Elio Fabri
Received on Sun Feb 16 2020 - 11:07:14 CET

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