"mario" <steve.morris_at_libero.it> ha scritto nel messaggio
news:130Z232Z73Z243Y1095269358X6829_at_usenet.libero.it...
> Quando scrivo equazione di Einstein ho
> tensore_einstein = -8 pi G Tensore_energia_impulso
> Se calcolo la divergenza del Tensore_energia_impulso vedo che si annulla,
e
> stessa cosa accade al tensore_einstein.
forse � meglio dire cos�: se calcolo la divergenza del tensore
di Einstein (che � al primo membro) vedo che tale divergenza
si annulla _identicamente_ (per le identit� di Bianchi);
di conseguenza si annulla la divergenza del secondo membro, che
� il tensore energia-impulso. Dicendo cos�, sottolinei il fatto
che le leggi di conservazione sono una conseguenza delle
equazioni di campo, e questo � uno dei pregi della RG:
la sorgente � automaticamente conservata (e connesso
a questo pregio ce n'� un altro: le equazioni del moto
discendono dalle equazioni di campo, senza bisogno di
postularle a parte!! Che io sappia nessun' altra teoria di
campo ha questa splendida armonia interna).
> Quindi posso aggiungere un termine costante (lambda) e il
> carattere della mia equazione non e' cambiato, visto
> che la divergenza di lambda non mi da alcun contributo.
> (Detto brutalmente, poi lo so che uno dovrebbe dire tutte le
> belle condizioni etc ...)
forse mi sfugge qualcosa, ma secondo me hai gi� detto
bene cos�, dato che la divergenza del tensore metrico �
identicamente nulla (la costante lambda compare moltiplicata
per il tensore metrico).
> Ma se non erro si indica la tetradivergenza, vero?
vero.
> Leggendo sui modelli di quintessenza, si introduce invece una 'lambda' che
> in realta' non e' piu' costante, ma varia con il tempo. In questo caso
> come posso metterla impunemente nell'equazione di einstein?
non conosco i modelli recenti, ma ricordo che tutti gli studi con
lambda variabile fino agli anni novanta inclusi (quelli che ho letto,
si capisce, che non sono pochi ma certo non sono tutti)
seguivano due strade:
1) o trattavano lambda come un campo scalare (ottenendo equazioni
analoghe a quelle di Brans e Dicke, solo che ora la variabile era
lambda e non G; e ci sono anche modelli pi� generali che
fanno variare insieme sia G che lambda). Le equazioni venivano
dedotte da un principio d'azione (si generalizzava la lagrangiana
di Hilbert-Palatini arricchendola del nuovo campo scalare).
2) oppure scrivevano le nuove equazioni di campo semplicemente cos�:
tensore di Einstein = 8 pi G (x) Tensore energia impulso +
+ lambda(x) Tensore metrico ( 1 )
dove (x) indica dipendenza dalle coordinate [su scala cosmologica
e con metrica di RW ovviamente si ha semplicemente G(t) e
lambda(t) con t tempo cosmico). Cio� inserivano" impunemente"
come hai detto tu la (le ) variabile (variabili) nelle equazioni di
Einstein, conservando perfettamente inalterata la _forma_ di
queste ultime.
Gli autori che facevano cos� si scusavano dicendo
in sostanza: " non riusciamo a dedurre le ( 1 ) da un
principio variazionale (come invece sarebbe desiderabile
per tutte le teorie di campo rispettabili) per� le equazioni ( 1 )
hanno il vantaggio di essere semplici nella struttura
come quelle di Einstein e secondo noi vale la pena di studiarle
perch� potrebbero essere il caso particolare di una teoria pi�
soddisfacente (leggi: con lagrangiana) ".
Effettivamente le ( 1 ) sono semplici da trattare.
Fermo restando che la divergenza del tensore di Einstein
continua a essere identicamente nulla, e scrivendo:
T^ik = tensore energia-impulso;
g^ik = tensore metrico;
L = lambda
/ k = derivata covariante rispetto alla coordinata x^k
hai subito dalla (1 ) (tralascio l' 8 pi)
G / k T^ik + G T^ ik / k + L / k g^ik ( 2 )
(ovviamente G / k e L / k sono derivate parziali ordinarie
dato che G e L sono scalari; T^ik/ k � la tetradivergenza
che dicevi tu).
A questo punto puoi divertirti a considerare almeno due
possibilit�:
( A ) se vuoi che L cambi, cio� se vuoi L / k =/= 0 ,
puoi avere G costante a patto di abbandonare la conservazione
dell'energia-impulso della materia (intendendo come materia tutto
e solo ci� che � incluso in T^ik); infatti se G � costante, G / k
si annulla e la (2) impedisce l'annullarsi di T^ik / k ;
( B ) Alternativamente puoi mantenere le solite leggi di
conservazione T ^ i k / k = 0 ma allora sei costretto a
concludere che G / k =/= 0 cio� che G non � una
vera costante.
Poich�, a quanto pare, le osservazioni suggeriscono un
valore di L (che � dimensionalmente l'inverso del quadrato
di un tempo) positivo e dell'ordine di 10^(-35) s^(-2) ,
valore che a sua volta � dell'ordine dell' inverso del quadrato
della costante di Hubble (la quale diminuisce col passare del
tempo) � ragionevole pensare che L diminuisca col tempo;
in questo caso � facile vedere dalla ( 2 ) (nel caso semplice
della metrica RW) che:
nel caso ( A ) , cio� G costante, c'� creazione di materia.
Ottieni infatti da ( 2 )
T^0 k / k = T^00 / 0 + T^00 G(0 k, k) ( 3 )
dove G � la connessione affine (la chiamo G perch� la
mia tastiera non ha il gamma). Con F = funzione di scala,
e H costante di Hubble, la metrica RW ti d�
G(0 k, k) = (3 / F) d F / d t = 3 H ( 4 )
Se ora consideri per semplicit� un fluido perfetto senza
pressione hai T^00 = D = densit� di massa
(la metrica ha i segni +, -, -, -) e tutte le altre T^ik sono
nulle, quindi d D / d t + 3 D H + d L / d t = 0
o equivalentemente
d ( D F^3) / d t = - F^3 d L / d t ( 5 )
e siccome D F^3 � la massa contenuta
nel volume comovente F^3 � chiaro che
con L positivo e decrescente nel tempo
si ha aumento di massa nel tempo.
Tutto questo per un fluido perfetto senza
pressione ma credo che anche in casi pi�
generali (non troppo esotici, almeno)
la conclusione sarebbe sostanzialmente
la stessa (dico " credo" perch� non conosco
studi a riguardo).
Nel caso ( B ), cio� T^ik / k = 0 (nessuna creazione
di materia) si trova d G / d t > 0 (la "costante" di Cavendish
cresce col tempo) secondo la legge (� immediato verificarla!!)
d G / d t = ( - 1 / 8 pi D ) d L / d t ( 6 )
Sulla forma della funzione decrescente L ( t ) puoi
sbizzarrirti a fare ipotesi.
Per esempio puoi scegliere L = H ^ 2 o L = 1 / t ^ 2
o L = 1 / F^2 (F = funzione di scala).
Se vuoi ti mando un po' di bibliografia.
saluti
Corrado
Received on Thu Sep 16 2004 - 05:32:59 CEST
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