Re: Distribuzione Microcanonica

From: Gianmarco Bramanti <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Mon, 30 Aug 2004 20:54:00 +0000 (UTC)

> Le mie dispense dicono che dall'ipotesi ergodica discende che a tempi
> lunghi un qualsiasi punto dello spazio delle fasi del sistema, compatibile
> con i vincoli esterni, diventa accessibile al moto con uguale probabilita'
> rispetto a qualunque altro punto.
>
> Fin qui tutto ok.

In verit� il dieci per cento della difficolt� della formulazione della
ipotesi ergodica sta in questa fase preliminare, in particolare nel dar
significato alla frase "accessibile con probabilit� data". Poi il cin-
quanta per cento � nel correlare l'ipotesi ergodica con l'equi-
probabilit� a priori. Per questa parte di difficolt� tuttavia possiamo
appoggiarci a dei teoremi. L'ipotesi ergodica si formula allora in
accordo al teorema di Birkhoff dicendo che la media temporale di
una grandezza termodinamica � pari al valor medio della medesima
grandezza sullo spazio delle fasi accessibile inteso come spazio di
probabilit� con densit� di probabilit� costante rispetto all'area
di fase.

> Poi c'e' un collegamento che mi sfugge: In particolare, per un sistema
> isolato l'ipotesi ergodica equivale ad introdurre una distribuzione di
> probabilita' rhomc nello spazio delle fasi definita ocme:
>
> 1/deltaE per |H({p},{q})-E|<deltaE
> rhomc({p},{q})=lim_deltaE-->0
> 0 altrove
>
> Questa e' appunto la distribuzione microcanonica (una delta di Dirac
> nell'energia) e da questa si calcolano le funzioni termodinamiche di
> qualunque sistema ergodico...

Esiste un teorema ergodico che va sotto il nome di Birkhoff ed una
ipotesi ergodica. Sono entrambe necessarie per definire in modo
serio il sistema microcanonico.

In primo luogo sappiamo che fra i vincoli esiste quello derivante dalla
conservazione dell'energia, che individua una variet� 2n-1 dimensionale
nello spazio delle fasi di dimensione 2n dove pu� svolgersi il moto
del sistema (n � il numero dei gradi di libert�). Ora se il sistema �
ergodico, e non esistono altri vincoli dinamici, come pu� essere per
esempio un altro integrale isolante, fissata una partizione della super-
fice risulta che l'ipotesi ergodica equivale a dire che ogni parte della
ipersuperfice viene esplorata con una frequenza proporzionale alla pro-
pria area invariante. In primo luogo come costruiamo un'area invariante?

Siccome le coordinate canoniche che costruiscono lo spazio delle fasi
non sono uno spazio metrico dobbiamo rinunciare ad ogni nozione di di-
stanza, e basarci unicamente su ci� che non dipende dalla particolare
scelta di coordinate canoniche. Una grandezza invariante per trasforma-
zioni canoniche � la forma multilineare antisimmetrica formata dai dif-
ferenziali di tutte le coordinate canoniche. Questo � l'elemento di
volume. Il teorema di Liouville che dice che il volume si conserva sul
flusso di fase � un corollario di questa osservazione dato che il flusso
hamiltoniano definisce null'altro che una trasformazione canonica. Altro
invariante
canonico � il sistema di Hamilton. Dunque possiamo appoggiarci alla
funzione H ed al suo differenziale. Consideriamo una regione infinitesi-
ma Om della sup. H=E. (nulla di zen sta per omega ed � notazione presa a
prestito dalla teoria della probabilit�). Ivi consideriamo 2n-1 vettori
v_i tali che <dH,v_i>=0. Quindi un vettore w tale che <dH,w> = delta E.
Poniamo w' = w/delta_E L'elemento di volume per i 2n vettori v_i e w' �
indipendente dalla scelta di w. Infatti il contributo al volume di un
elemento v tale che <dH,v>=0 sommato a w' � nullo. Dunque l'ipersuperfi-
ce � ora attrezzata con una misura che non dipende dalla particolare
scelta di coordinate canoniche. Si dimostra che l'integrale della fun-
zione delta(H(p,q)-E) sulla regione Om � pari all'area invariante di Om.
Ora possiamo formulare il teorema di Birkhoff, l'ipotesi ergodica, e
dunque il corollario microcanonico. Per brevit� ti rinvio alla pagina:

http://planetmath.org/encyclopedia/ErgodicTheorem.html

L'ipotesi ergodica � stata dimostrata in varie circostanze a partire da
ipotesi abbastanza minime e ritenute generali, ad es. l'ipotesi caotica,
(SRB per i sistemi iperbolici implica l'ergodicit� e la caoticit�) va
detto che esistono probabilmente delle notevoli eccezioni, e che Landau
riteneva talmente irragionevole che l'ipotesi ergodica valesse per tutti
i sistemi statistici importanti in fisica da rifiutarsi di porla come
base della derivazione della funzione di partizione canonica e preferire
un argomento pi� probabilistico come fondazione. Negli anni sessanta
Feynmann fondava la sua meccanica statistica assumendo come postulato
la funzione di partizione canonica (giustificandola in modo analogo a
come aveva fatto Landau) entrambi interpretarono uno spirito di prudenza
dovuto alle difficolt� trovate da prime grandezze come Birkhoff, Kolmo-
gorov, Markov, e poi ancora dopo di loro da Sinai, Ruelle, Bowen a tro-
vare una giustificazione abbastanza convincente e generale dell'ipotesi
ergodica.

> Quello che mi sfugge e' riuscire a collegare questo limite al fatto
> esposto sopra che ogni punto ha equiprobabilita' di essere raggiunto...
> Essendo una delta di Dirac a me sembrerebbe tutt'altro che
> equiprobabile... cosa mi manca?

Direi che mancasse l'idea che la conservazione dell'energia � un vincolo
e forse la formulazione di ergodicit� come media del flusso hamiltoniano
di un sistema canonico. Grazie per la proficua domanda.


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Received on Mon Aug 30 2004 - 22:54:00 CEST

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