Il 22 Ago 2004, 19:46, rez <rez_at_rez.localhost> ha
scritto:
> On Thu, 19 Aug 2004 22:54:33 +0000 (UTC), Giovanni Bramanti wrote:
>
> >Sintetizzo. Dico reciproco del tensore A^i_k il tensore
> >B_i^k per il quale: A^i_k B_l^k = g^i_l. Dico duale
> >del tensore B^i_k il tensore B_i^k. Asserisco che
> >per cambi di base isometrici l'operazione di reciprocit�
> >e l'operazione di dualit� commutano ed equivalgono
> >all'identit�.
>
> Io pero` parlavo di spazi affini, non metrici.
Nel caso di spazi affini basta porre
L : V*xV -> R == L(v,w)=v(w).
Poi A_i'^j = L(e_i',t^j)
A_i^j'=L(e_i,t^j')
B^i'_j=L(e_j,t^i')
B^i_j'=L(e_j',t^i)
Che sono esattamente i due tensori di
trasformazione A e B che hai scritto tu.
Gli spazi metrici possono essere strutturati
allo stesso modo per� entro V^2 anzich� entro
V* x V. Il ruolo di L � svolto da g. I vettori
duali t^i sono sostituiti dalle loro immagini
mediante isomorfismo metrico: e^i. La
condizione pseudo-euclidea (ovvero che i
cambiamenti di base conservino la metrica)
implica che il reciproco di A pu� essere
ottenuto da A stesso per contrazione con il
tensore metrico g. Rinunciando alla condizione
di isometricit� dei cambiamenti di base puoi
immergere la struttura affine in quella metrica
che abbiamo costruito sempre in virt� dell'isomorfismo
metrico e vale quanto fa da cappello a questa e-mail,
eccetto che per il rimprovero circa l'uso improprio
della parola duale hai ragione tu.
Tensore duale si usa in altro contesto che � quello delle forme
multilineari alternate per indicare il tensore ottenuto mediante
l'operazione di aggiunzione. Mentre, qui distrattamente io utilizzavo
la stessa parola per indicare lo scambio simmetrico fra indici
covarianti e controvarianti. Nel caso dell'elettromagnetismo il
duale del tensore elettromagnetico � distinto da quello che si
ottiene scambiando covarianza e controvarianza per mezzo del
tensore metrico.
Infatti con quest'ultima operazione (scambio di indici covarianti con
indici controvarianti) cambia il segno delle componenti di campo
elettrico, nel primo caso (ovvero aggiunzione mediante il tensore
totalmente antisimmetrico) si ottiene lo scambio fra le componenti
del campo elettrico e quelle del campo magnetico. Anche l'origine
della parola duale in questo contesto non nasce in ambito tensoriale,
risale infatti alla cosiddetta simmetria di dualit� magneto-elettrica
dell'elettromagnetismo notata da Dirac.
Ciao Gianmarco Bramanti
P.S. a voler lavorar di finezza c'� da osservare che le
rappresentazioni miste del tensore identit� possono
essere usate solo come stadio intermedio per costruire,
mediante rappresentazioni omogenee definite a partire dalle
rappresentazioni miste i nuovi tensori Z,W Z^(-1) W^(-1)
definiti a bella posta per estrarre le nuove rappresentazioni
dei vettori dei covettori e delle componenti. Infatti a me
personalmente non piace che nella versione conclusiva rimanga
l'uso di apici per intendere altre basi di rappresentazione diverse
da quelle assegnate in principio. Preferisco usare gli apici come
annotazione mnemonica e sforzarmi di distinguere i quattro tensori
prodotti a partire dalle rappresentazioni miste del tensore L.
Se vuoi se ne riparla.
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Received on Tue Aug 24 2004 - 23:45:34 CEST