Re: Simmetrie e grandezze conservate in MQ

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 23 Aug 2004 21:37:39 +0200

Gianmarco Bramanti ha scritto:
> Un gruppo di matrici reali complesse pu� essere interpretato come
> agente su uno spazio vettoriale complesso. Allora il gruppo � gi� una
> rappresentazione che chiamo naturale o identica o di definizione.
OK

> I gruppi di lie finito dimensionali sono sempre interpretabili come
> gruppi di automorfismi di uno spazio vettoriale? Questo non lo so in
> generale e mi piacerebbe saperlo, tuttavia gli esempi che conosco sono
> di questo tipo.
Non lo so. La mia unica fonte in proposito e' il Pontriagin, il cui
ultimo capitolo porta il titolo "struttura dei gruppi di Lie".
Ma non sono in grado di dirti che cosa dice. Senza contare che non e'
precisamente moderno...

> Allora quel che mi � chiedevo � se � vero che la rappresentazione
> naturale di U(1) � una rappresentazione irriducibile del suo
> rivestimento universale che � unica a meno di isomorfismi.
> ...
> Ma siccome z ha una parte reale ed una parte immaginaria possiamo dire
> che ogni rappresentazione � prodotto di due rappresentazioni di cui
> una � isomorfa alla rappresen- tazione naturale di R+ e l'altra �
> isomorfa ad U(1). ******************
Mi pare giusto.
Nota pero' che l'equivalenza e' piu' importante dell'isomorfismo nella
teoria delle rappresentazioni.
Pensa ad es. alla proprieta' di ortogonalita' di rappr. non equivalenti.

> Mi piacerebbe essere in grado di risolvere l'altro problema che
> proponevi e cio� trovare le rappresentazioni irriducibili reali.
> L'idea sarebbe passare da quelle complesse interpretando gli elementi
> C come automorfismi di R^2. Usare il solito lemma di Schur e
> concludere che ogni rappresentazione irriducibile reale � prodotto di
> due rappresenta- zioni, una isomorfa ad R+ l'altra isomorfa ad SO(2).
> Per� non sono certo che nel passaggio per il mondo complesso non
> risulti tralasciata qualche rappresentazione.
> Suggerimenti?*************************************
Partirei dall'idea che una tale rappr. non si diagonalizza con matrici
reali, ma si' con matrici complesse.
Ne segue che puo solo avere dimensione 2, essenzialmente per la stessa
ragione per cui un polinomio reale puo' essere decomposto in fattori
al piu' di secondo grado, restando sempre nel campo reale.
(Molti anni fa mi ero un po' interessato all'applicazione della teoria
di Galois alla m.q., appunto attraverso la riduzione o no di
rappresentazioni...)

> ...
> Come stanno le cose in verit�? Suppongo sia a questo livello che in-
> tervengano dei teoremi sulla complessificazione.
  A questo proposito ho trovatosu Pontriagin che mentre e' sempre
possibile passare da un grupo di Lie reale a uno complesso, co le
stesse costanti di struttura, l'inverso non e' sempre possibile, e se
lo e' non e' detto che lo sia in modo unico.
Da qui nascono problemi nella classificazione dei gruppi diLie reali,
che e' (credo) piu complicata che per quelli complessi.

> Infine circa la rappresentazione fondamentale esiste un modo di
> procedere che passa per i pesi massimi.
Lo so: e' la tecnica di Cartan.

> Per quanto riguarda SU(3) abbiamo due rappresentazioni fondamentali.
> Possiamo esprimerci al modo seguente: dire che i campi trasformano
> come la rappresentazione naturale (o defining) di SU(3) oppure
> esprimere il generico campo soggetto alla trasformazione di SU(3) come
> una opportuna somma di campi che trasformano ciascuno secondo una
> specifica rappresentazione fondamentale di SU(3).
Non ho capito il secondo modo.

Come vedi non ho risposto a un sacco di cose, quasi sempre perche' non
so che dire...
                                        

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Mon Aug 23 2004 - 21:37:39 CEST