Re: equazione di schrodinger

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sun, 15 Aug 2004 21:09:52 +0200

giu_mata ha scritto:
> salve sul mio libro di testo c'� scritto che l'equazione di
> schrodinger degli stati stazionari � un'equazione agli autovalori
> nell'energia. che cosa significa?c'� qualcuno che mi spiega
> gentilmente ed in termini semplici che cosa significa?
Il problema e' che non ci dici a che punto sei; pero' azzardo che sei
a livello liceale.
Il che significa che per farti capire qualcosa bisognera' partire
parecchio indietro...

Per cominciare, l'eq. di Schr. che citi e' un'equazione
_differenziale_, e dubito che tu sappia che cosa significa.
Posso dirlo quasi in parole, ma e' da vedere se capirai...

In un'eq. algebrica l'incognita e' un numero (la solita x).
In un'eq. differenziale l'incognita e' una _funzione_: nel caso piu'
semplice (mi basta) una F(x).
Si dice "differenziale" perche' l'eq. da' una relazione tra la funzione
e le sue derivate.

Esempio semplicissimo:

F"(x) + k^2 * F(x) = 0. (1)

Questa eq. lega la F alla sua derivata seconda F". C'e' poi un
parametro k, di cui riparleremo tra poco.
Risolvere questa eq. e' facile (se uno ha studiato qualcosa
sull'argomento). La soluzione non e' unica, ma ce ne sono infinite:

F(x) = a * cos(kx) + b * sin(kx) (2)

dove a, b sono costanti arbitrarie.
Se sai fare le derivate, questo puoi verificarlo.

Di solito non siamo interessati a infinite soluzioni, ma a una
determinata: questo puo' accadere perche' conosciamo le "condizioni
iniziali", ossia sappiamo quanto valgono F(x) e F'(x) per un certo
valore x=x0.

Nota che cio' accade quando abbiamo un problema di meccanica: per es.
il classico oscillatore armonico ti da' proprio un'eq. come la (1):

m x"(t) + k x(t) = 0.

(Spero tu riconosca che a pare il camboiametno dei simboli e' proprio
la stessa equazione.)
Nel problema di meccanica si dice: al tempo t=t0 e' data la osizione e
la velocita': x(t0) e x'(t0). Si vuol trovare x(t).

Ma ci sono altri casi, che posso solo accennare, non spiegare in
dettaglio.
Pensa a una corda di chitarra: essa e' fissa a due estremi, ed e'
libera di vibrare.

Bene: se cerco le vibrazioni _a frequenza definita_, ossia quelle in
cui ogni punto della corda si muove di moto armonico con la stessa
frequenza, posso dimostrare che lo spostamento F(x) della corda dalla
posizione di equilibrio deve soddisfare proprio a un'equazione come la
(1). La costante k e' legata alla frequenza f, dalla relazione

k = 2pi*f/v

dove v e' la velocita' delle onde lungo la corda.

La soluzione l'abbiamo gia', ed e' la (2).
Pero' la (2) non ci assicura che gli estremidella corda sino fissi:
dobbiamo aggiungere le "condizioni al contorno".
Se mettiamo l'origine delle x a un estremo della corda, e se la
lunghezza e' l, dovremo richiedere

F(0) = F(l) = 0.

Se provi a sostituire queste condizioni nella (2), vedi che f(0) = 0
impone a=0, mentre f(l)=0 impone sin(kl)=0 ossia

k = n*pi/l. (n=1,2,...)

Questi valori di k per i quali e' possibile soddisfare le condizioni
richieste e l'eq. ha soluzione, si chiamano "autovalori".
Ne segue f = nv/(2l): ci sono infinite frequenze, la fondamentale
v/(2l) e le armoniche.

Ora finalmente posso tornare all'eq. di Schr.

Essa e' molto simile all'eq. della corda di chitarra: alposto di k^2
c'e' l'energia, al posto della F(x) c'e' la "funzione d'onda".
Poi in generale l'eq. e' parecchio piu' complicata, ma il problema
matematico e' lo stesso: trovare quali sono i valori di E (autovalori)
per i quali l'eq. con date condizioni al contorno ammette soluzione.
  

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sun Aug 15 2004 - 21:09:52 CEST