Ciao lb1909193,
come ti diceva CyberPax innanzitutto nota che la costruzione del fibrato
tangente avviene in due passi, uno locale, anzi direi puntuale, il
secondo e' una semplice unione insiemistica.
Questo certo non vuol dire che l'insieme che si ottiene non sia
globalmente diffeomorfo(nota che non dico uguale, ma diffeomorfo!) a
MxR^n, ma....dovrebbe almeno fare venire il sospetto che forse forse i
geometri non sono cosi' scemi...da volersi complicare la vita a tutti i
costi...
Premettendo a questo punto che
1) non sono un geometra
2) la domanda mi sembrerebbe in realta' molto piu' appropriata ad un
newsgroupo di matematica
3) non sono riuscito a trovare controesempi piu' semplici e intuitivi di
quello che ti proporro', mentre in realta' chissa' quanti ce ne stanno..
mi accingo a darti una risposta poco rigorosa, nel senso che non potro'
dimostrarti quello che ti diro' perche' usero' un teorema che non e' da
dimostrarsi in 2 righe, ma con un po' di immaginazione potrai renderti
conto lo stesso del problema. Naturalmente spero di raccontarti
minchiabubbolate.
Prendi la sfera duodimensionale S^2 (insomma la superficie della palla
con cui vai a giocare a calcetto con gli amici) e supponi che il suo
fibrato tabgente sia S^2 x R^2. Allora sicuramente ti sapresti costruire
un campo vettoriale sulla sfera con la regolarita' che vuoi e che non si
annulli da nessuna parte. No?
Beh, proviamo a visualizzare questo campo: immaginiamo di costruirlo
ricoprendo la nostra palla di "capelli" e di pettinarla il modo che
questi capelli(ok, sono belli dritti, li ho riempiti di gel) le stiano
tangenti(altrimenti non ho un campo vettoriale sulla palla). Pettina
pettina...forse riesci a intuire che
1) o ti trovi almeno un punto in cui la tua pettinatura non e' regolare
2) o in quel punto devi avere che la lunghezza dei capelli tende a zero.
Detto rigorosamente, c'e' un noto teorema di topologia differenziale,
l'Hairy Ball Theorem(prova a tradurlo in italiano :-) )) che
dice che non e' possibile trovare su S^2 una campo vettoriale regolare
che non si annulla da nessuna parte.
Detto questo aggiungo 2 commentini:
1) troppo spesso nei corsi di geometria differenziale per i fisici, per
lo piu' orientati alla relativita' generale, si guardano solo gli
aspetti locali. La topologia globale invece e' importantissima ed e'
quella che fa nascere effetti tipo quelli del teorema che ti ho citato;
2) la visione locale a volte non evidenzia sufficientemente le strutture
che si hanno in mano e si rischia di confondere fibrati con altri
fibrati...o di non accorgersi delle differenze sostanziali fra i
tangenti e i cotangenti, che non e' solo legato a come vi si fanno i
cambi di coordinate...ma questo e' un altro discorso
Dunque nei tuoi studi cerca sempre di porti anche domande di tipo
globale(come hai giustamente fatto!)
ciao
toyotoshy
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Received on Wed Aug 11 2004 - 22:40:36 CEST