Il 08 Ago 2004, 20:11, gianmarco100_at_inwind.it (Gianmarco Bramanti) ha
scritto:
> Il 07 Lug 2004, 21:08, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> > Paolo Pani
> > > ...
>
> > Non ci sarebbe il problema se SO(3) fosse privo di rappresentazioni
> > cosi' fatte, ma invece le possiede, e la ragione e' che si tratta di un
> > gruppo *non semplicemente connesso*.
> > Si dimostra in generale che le rappr. proiettive di un gruppo non
> > sempl. connesso sono tutte e sole le vere rappresentazioni di un altro
> > gruppo, detto "ricoprimento universale" del primo. Per SO(3) il ric.
> > univ. e' appunto SU(2).
> > Ecco come nasce la necessita' di considerare le rappr. di SU(2).
> >
> > Dimenticavo: un gruppo e il suo ric. univ. sono _localmente isomorfi_,
> > quindi hanno la stessa algebra di Lie. Ne segue che se lavori con i
> > "generatori" e le loro rel. di comutazione, automaticamente ottieni le
> > rappr. del ric. univ.: e' appunto quello che succede nel caso del
> > momento angolare, e da qui nasce (matematicamente) lo spin, ossia la
> > possibilita' di un nuovo grado di liberta', e di corrispondenti
> > osservabili, non esprimibili in termini delle q e p.
> >
> > Mi fermo qui, sperando di non essere stato troppo astruso ;-)
>
> Mi permetto solo una correzione a questa e-mail che non avevo
> considerato con l'attenzione e la cultura dovute. Generalmente
> quando lavori con le relazioni di commutazione ed i generatori
> ottieni quella che si chiama rappresentazione aggiunta. La
> rappresentazione aggiunta e' generalmente distinta dalla
> rappresentazione fondamentale che e' la rappresentazione di
> dimensione minima. Nel caso del gruppo SU(2) la rappresentazione
> fondamentale ed aggiunta sono la medesima rappresentazione.
>
> A questo punto pero' emergono alcune domande: la rappresentazione
> fondamentale e la rappresentazione del ricoprimento universale sono
> sempre la medesima rappresentazione? Mi pare che tu accennassi tempo
> addietro ad un teorema, che stava sul Pontryagin che dice qualcosa come:
> "per un gruppo compatto la rappresentazione del ricoprimento universale di
> un gruppo di algebra assegnata e' la rappresentazione di dimensione
minima"
> Da questo seguirebbe che perche' SU(N) e' sempre semplicemente connesso
> e compatto e' gruppo fondamentale della propria algebra ed ha dimensione
N.
> Mentre siccome i suoi generatori sono in numero di N(N-1) risulta N =
N(N-1)
> sse N=2 o N=0. E' corretto questo?
Il 08 Ago 2004, 20:11, gianmarco100_at_inwind.it (Gianmarco Bramanti) ha
scritto:
> Il 07 Lug 2004, 21:08, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> > Paolo Pani
> > > ...
>
> > Non ci sarebbe il problema se SO(3) fosse privo di rappresentazioni
> > cosi' fatte, ma invece le possiede, e la ragione e' che si tratta di un
> > gruppo *non semplicemente connesso*.
> > Si dimostra in generale che le rappr. proiettive di un gruppo non
> > sempl. connesso sono tutte e sole le vere rappresentazioni di un altro
> > gruppo, detto "ricoprimento universale" del primo. Per SO(3) il ric.
> > univ. e' appunto SU(2).
> > Ecco come nasce la necessita' di considerare le rappr. di SU(2).
> >
> > Dimenticavo: un gruppo e il suo ric. univ. sono _localmente isomorfi_,
> > quindi hanno la stessa algebra di Lie. Ne segue che se lavori con i
> > "generatori" e le loro rel. di comutazione, automaticamente ottieni le
> > rappr. del ric. univ.: e' appunto quello che succede nel caso del
> > momento angolare, e da qui nasce (matematicamente) lo spin, ossia la
> > possibilita' di un nuovo grado di liberta', e di corrispondenti
> > osservabili, non esprimibili in termini delle q e p.
> >
> > Mi fermo qui, sperando di non essere stato troppo astruso ;-)
>
> Mi permetto solo una correzione a questa e-mail che non avevo
> considerato con l'attenzione e la cultura dovute. Generalmente
> quando lavori con le relazioni di commutazione ed i generatori
> ottieni quella che si chiama rappresentazione aggiunta. La
> rappresentazione aggiunta e' generalmente distinta dalla
> rappresentazione fondamentale che e' la rappresentazione di
> dimensione minima. Nel caso del gruppo SU(2) la rappresentazione
> fondamentale ed aggiunta sono la medesima rappresentazione.
Ripensandoci nemmeno questo � vero. La rappresentazione SU(2) ha
gli stessi gradi di libert� della rappresentazione aggiunta, non la stessa
dimensione. Anzi la dimensione della rappresentazione aggiunta dell'algebra
comune di SU(2) ed SO(3) � tre come la dimensione di SO(3). Ne segue che
la rappresentazione SO(3) ed aggiunta sono entrambe distinte dalla
rappresentazione fondamentale dell'algebra del momento angolare.
Per� SO(3) e la rappresentazione aggiunta sono globalmente isomorfe?
Cio� a dire esiste un'applicazione che conserva le propriet� di gruppo
e che applica gli elementi di SO(3) invertibilmente negli elementi della
rappresentazione aggiunta?
> Da questo seguirebbe che perche' SU(N) e' sempre semplicemente connesso
> e compatto e' gruppo fondamentale della propria algebra ed ha dimensione
N.
Mi sembra corretto, chiedo conferma.
> Mentre siccome i suoi generatori sono in numero di N(N-1) risulta N =
N(N-1)
> sse N=2 o N=0. E' corretto questo?
questo � sbagliato. Il numero dei generatori indipendenti di SU(N) al pari
dei suoi gradi di libert� � N^2-1, che si ottiene dal contare i gradi di
libert�
come (2N)^2 - N^2 - 1 infatti i gradi di libert� di GL(C^n) � 2n ma la
condizione
di unitariet� � espressa da n^2 equazioni, infine la condizione che il
gruppo sia
speciale implica un'ulteriore equazione.
Mentre la dimensione di una rappresentazione
� la dimensione dello spazio vettoriale V tale per cui GL(V,n) ammette un
sottogruppo di lie con algebra assegnata. (l'algebra � data dalle regole
di commutazione, e ad essere precisi la rappresentazione � data da un
omomorfismo di un gruppo di lie con algebra assegnata su GL(V,n)).
Tuttavia se intendiamo C^2 come spazio vettoriale su C la sua dimensione
� due, mentre se lo intendiamo come spazio vettoriale su R la sua dimensione
� 4. Per questa osservazione sembrerebbe che la stessa nozione di
rappresentazione fondamentale, espressa come "rappresentazione di
dimensione minima" come si trova su certi libri di fisica, conduca ad
enti matematici differenti secondo che si utilizzino rappresentazioni reali
o complesse. Come stanno le cose in tal caso? Si usano sempre e solo
rappresentazioni su spazi vettoriali complessi in fisica? Se si perch�?
Nel caso del gruppo delle rotazioni sono generalmente
abituato a pensare che assegnato uno spazio vettoriale (complesso)
di dimensione n=>2 esiste una ed una sola rappresentazione
irriducibile di quella dimensione, che � identificata dall'autovalore degli
operatori J^2. Come stanno le cose nella generalit� dei casi? E' sempre
vero? Oppure esistono dei gruppi di Lie per i quali esistono pi�
rappresentazioni irriducibili di dimensione assegnata?
Un esempio in tal senso mi sembra costituito dalle rappresentazioni
del gruppo di Lorentz che non � compatto. In quel caso c'� poi un trucco
generalmente molto usato, ma che mi pone delle difficolt�. Si tratta di
passare dall'algebra in termini di J e K all'algebra J+iK e J-iK. La
difficolt�
� che con questo cambiamento di base, come lo chiamano alcuni autori,
si potrebbe finire su un'algebra completamente distinta. Questo perch�
i generatori sono generatori ottenuti derivando l'identit� rispetto a
parametri
reali ed invece J + i K e J - i K sono combinazioni complesse. Anche qui,
come stanno le cose in effetti?
Tornando alla tua affermazione:
Dimenticavo: un gruppo e il suo ric. univ. sono _localmente isomorfi_,
> > quindi hanno la stessa algebra di Lie. Ne segue che se lavori con i
> > "generatori" e le loro rel. di comutazione, automaticamente ottieni le
> > rappr. del ric. univ.: e' appunto quello che succede nel caso del
> > momento angolare, e da qui nasce (matematicamente) lo spin, ossia la
> > possibilita' di un nuovo grado di liberta', e di corrispondenti
> > osservabili, non esprimibili in termini delle q e p.
La rappresentazione di SO(N) ha dimensione N mentre i generatori in
tal caso sono N(N-1)/2. L'unico caso in cui la rappresentazione
regolare e la rappresentazione ottenuta dai generatori hanno la stessa
dimensione � quando N=3. Per un generico N la rappresentazione
fondamentale � data dal gruppo spin(N). Mentre per SO(N) l'unico caso
in cui la rappresentazione fondamentale e la rappresentazione aggiunta
sono la stessa rappresentazione � quando N=2.
> Infine consideriamo il caso del gruppo unitario U(1). Questo gruppo e'
> compatto,
> pero' non e' semplicemente connesso. Quale ne e' la rappresentazione del
> ricoprimento universale? Mi viene da pensare R+: corretto? Che pero'
> diversamente che nel caso di SO(3) ha la stessa dimensionalita' del
> gruppo. Infine il gruppo U(1) che non ha topologia banale, e' l'unica
> altra rappresentazione irriducibile associata con il generatore delle
> traslazioni unidimensionale? Se si a cosa e' dovuta questa circostanza?
>
> Ultima riflessione che voglio proporre: quale e' la ragione dell'assenza
> di costanti del moto associate a simmetrie discrete in meccanica classica?
> Quello che mi viene da pensare istintivamente e' che in meccanica classica
> manca una componente periodica intrinseca allo schema dinamico che sia
> sullo stesso piano "numerico" mi spiego meglio in seguito.
> La scelta di utilizzare i commutatori in luogo delle parentesi di Poisson,
> insieme con le equazioni di Hamilton, conduce naturalmente alla
> rappresentazione della mappa q(t) = exp(i p t) q(0) entro la meccanica
> quantistica. Quello che mi piacerebbe comprendere e' come e se la
> costruzione di Poisson nasconde questa dualita', la mia impressione e' che
> dovrebbe essere possibile costruire una interpretazione non standard
> della meccanica classica, in cui le quantita' conservate dovute alle
> simmetrie discrete riemergono su un piano cosiddetto shadow.
> Ovvero sono invarianti infinitesimi in senso stretto. Diversamente
> nella meccanica quantistica, per cosi' dire, queste quantita' conservate
> acquistano spessore. Quello che d'istinto mi viene da pensare e' che debba
> esistere una formulazione unificata delle meccanica classica e quantistica
> in cui la differenza fra i due schemi riposa nel fatto che una misura
prende
> valori numerici arcbimedei in un caso (quantistico) e non archimedei
> nell'altro
> (classico). Questo comporta nel caso quantistico la possibilita' di una
> amalgamazione logica fra due piani che rimangono distinti nel caso
classico.
> Tutta una ...volata?
>
> Per il momento non saprei esprimere meglio questo argomento.
>
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> > Elio Fabri
> > Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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> Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
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Inviato via
http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Tue Aug 10 2004 - 13:14:53 CEST