"Sb" <sabardit_at_tiscali.it> wrote in message
news:200408051308221624_at_mynewsgate.net...
> Abbiamo un condensatore a lastre parallele carico. Approssimando
> diciamo che tutte l�e linee di forza sono contenute tra le due lastre.
> Collochiamo un carica positiva al di fuori delle lastre.
Dici bene: "Approssimando" !
> Siccome il campo si sviluppa solo all'interno delle lastre, la carica
> esterna non � soggetta a forze.
Vero, ma solo in prima approssimazione o meglio mi pare che si dica in
approssimazione "zero".
> D'altro canto pero, una delle due
> lastre sar� pi� vicina alla carica rispetto all'altra lastra di carica
> opposta e quindi sommando l'effetto delle cariche disposte sulle due
> lastre dovremmo ottenere una forza risultante.
Anche questo e' vero.
> Perch� invece la forza � nulla? Perch� la lastra metallica fa da
> schermo?
No, no, se anche facesse da "schermo" dovremmo capire cosa significa cio'.
Il punto e' che la forza *non* e' nulla ma, come detto, lo e' solo in
approssimazione "zero" (e anche questo, naturalmente, bisogna capire cosa
significa).
Con un po' di conti la situazione si chiarisce decisamente.
Supponiamo che il condensatore sia cilindrico, cioe' che le lastre parallele
cariche siano dei dischi di raggio dato R (questa ipotesi non e' essenziale,
cioe' le stesse conclusioni potrebbero aversi anche per lastre quadrate, o
rettangolari, pero' l'ipotesi di condensatore cilindrico semplifica un
pochino i calcoli (integrali) da effettuare).
Detta sig la densita' superficiale di carica si ha che sull'asse di un disco
di raggio R, uniformemente carico, il modulo del campo elettrico nel punto a
distanza h dal centro del disco vale (valore esatto, non approssimato),
sempre che non abbia sbagliato qualche calcolo:
2*pig*K*sig*[1-h/SQRT(R^2+h^2)]
dove pig=pigreco e K= costante di Coulomb.
Se il campo e' generato non da un disco ma da un condensatore, cioe' da due
dischi, uno carico sig e distante h, l'altro carico -sig e distante h+d
(chiamiamo cioe' d la distanza fra le piastre. Il punto in cui stiamo
calcolando il campo e' "sopra" al condensatore e dista h dalla pistra carica
positivamente, h+d dalla piastra carica negativamente), allora, per il
principio di sovrapposizione il campo sara' dato dalla somma di due vettori,
E+ e E-. Il modulo di E+ e' quello riportato sopra, il modulo di E- sara':
2*pig*K*sig*[1-(h+d)/SQRT(R^2+(h+d)^2)]
Il modulo del vettore somma, tenendo conto dei versi di E+ e E-, sara':
Etot=2*pig*K*sig*[(h+d)/SQRT(R^2+(h+d)^2) - h/SQRT(R^2+h^2)].
A questo punto possiamo passare a dare un significato alle approssimazioni
che decidiamo di fare.
Ad esempio possiamo supporre che sia d<<R e, sviluppando Etot in serie di
potenze di d/R si ottiene che il primo termine dello sviluppo e' nullo
(questo e' il significato della espressione che dicevi tu in apertura del
tuo post: "Approssimando diciamo che tutte le linee di forza sono contenute
tra le due lastre", cioe' non ci sono linee di forza "fuori", cioe' fuori il
campo elettrico e', approssimando, nullo).
Capiamo quindi che *non* e' vero che il campo elettrico fuori e' nullo ma
vale Etot che e' banalmente diverso da zero, e se vogliamo avere una stima
del suo valore, andando avanti nello sviluppo in serie di potenze di d/R
fino ad ottenere il primo termine non nullo, abbiamo che Etot vale, in prima
approssimazione:
Etot "=" 2*pig*K*sig*[1/(1+(h/R))^(3/2)]* d/R.
Se a questo punto ipotizziamo che sia anche h<<R si ha, in approssimazione
"zero":
Etot "=" 2*pig*K*sig* d/R
cioe', subito sopra le piastre il campo e' indipendente da h. Anche questa
ultima osservazione e' approssimata, se volessimo stimare la dipendenza da h
dovremmo andare avanti nello sviluppo (ripartendo dall'espressione esatta di
Etot) ottenendo:
Etot "=" 2*pig*K*sig* [d/R - 0.5*((d/R)^3+3(h/R)(d/R)^2+3(d/R)(h/R)^2].
Si puo' infine osservare che sviluppando l'espressione esatta di Etot nelle
approssimazioni h>>R e h>>d, si ottiene, in prima approssimazione:
Etot "=" 2*K* (pig*R^2*sig*d)*(1/h^3)
cioe' il campo e' direttamente proporzionale al momento di dipolo elettrico,
pig*R^2*sig*d, e inversamente proporzionale a cubo della distanza, come si
ha per il campo di un dipolo.
Ciao.
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Received on Sat Aug 07 2004 - 13:12:42 CEST