"rez" <rez_at_rez.localhost> wrote in message
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> On Tue, 03 Aug 2004 14:47:45 GMT, Gianmarco Bramanti wrote:
> -cut-
> >Dunque se y'^i = A^i_j y^j diremo che A^i_j e' la matrice
> >della trasformazione controvariante.
> Si` anche se pero` per comodita` e` invalso l'uso di porre
> gli apici sull'indice anziche' sulla lettera. Esempio:
> e_i = A_i^k' e_k' <==> e_j' = A^k_j' e_k
Serve effettivamente se vuoi lavorare con prodotti tensoriali fra
spazi vettoriali differenti o con basi differenti su
differenti copie dello spazio.
> cioe` i vettori e_i' sarebbero e'_i ed anche per le
> matrici si usa la stessa lettera A e vengono distinte
> dalla diversa posizione dell'apice.
>
> >Risulta verificato
> >che A^i_j A_i^l = g_j^l = deltakronecker(j,l).
>
> Qui pero` (e nel seguito tuo che non quoto) penso si
> dovrebbe cambiar nome/lettera alla seconda matrice.
> Altimenti guarda, usando le matrici che ho scritto su,
> cioe` la convenzione sugli apici:
>
> A_i^j' A^k_j' = (delta)i_^k [righe i * righe k]
>
> A^j_i' A_j^k' = (delta)i'_^k' [colonne i' * colonne k']
No leggi sempre in ordine tipografico e pero'
aggiungi accanto alla matrice il tipo di varianza:
esempio A_^ ed A^_ la proprieta' commutativa
implica ad esempio che g^_ = (g_^)^t, e la simmetria
della matrice associata alla metrica implica g^_ = g_^,
che non e' una proprieta' generale dei tensori.
E vale la relazione (A_^)^t = (A^_)^-1
Se lavori con copie di un solo spazio e con una
sola base per volta puoi usare la convenzione di
non ordinare gli indici e tener conto delle differenze
nel tensore stesso. In tal caso: A_i^j ed {A^(-1)}^i_j
mettendo gli indici uno sull'altro non cambia nulla,
e scrivi la trasformata covariante come A_i^j y_j
e la controvariante come y^i {A^(-1)}_i^j. In tal caso
l'indice covariante e' di riga, il controvariante di
colonna.
> cioe` l'apice in alto indica una matrice diversa da quella
> con l'apice in basso anche se la loro lettera (in questo
> caso A) e` la stessa.
esatto. La lettera e' associata al tensore di trasformazione
che scrivi sempre davanti al tensore che vuoi andare a
cambiare, se la trasformazione e' covariante il primo
indice e' covariante, se la trasformazione e' controvariante
il primo indice e' controvariante. Io trovo che sia piu'
semplice, comodo e generale, pero' e' una questione di
gusto personale. La traduzione in matrici la ottieni con
la convenzione tipografica ricordando che cambiando
l'ordine degli indici cambia la forma della matrice.
> Invece di un'ipotetica M = || M_i^k || la sua trasposta e`
> M* = || M^k_i ||.
Dunque, secondo la mia notazione coerente sarebbe:
(M^_)*_ij = M^j_i cioe' la trasposta la fai scambiando
i nomi degli indici e non l'ordine variantivo. Secondo la
tua notazione la trasposta la fai nello stesso modo, pero'
hai bisogno di una lettera in piu' per indicare l'inversa.
Nota che se vuoi puoi utilizzare lettere distintive anche con la
convenzione che propongo qui, M*^i_j = M^j_i o anche:
M*^_ = (M^_)^t secondo la notazione che ho proposto prima.
Secondo quello che scrivi tu invece M* = M^(-1).
> >Rez, se non ci fosse bisognerebbe inventarlo :-).
>
> Ah si`? E rez allora ti mette una pulce nell'orecchio:-))
> La ben nota e sempre citata (l'avevi appunto richiamata
> anche tu piu` su, ma non l'ho quotato) convenzione di
> Einstein per la "sommazione sottintesa degli indici di
> valenza opposta che figurano in un'espressione monomia",
> ebbene tale convenzione di Einstein _non_ e` di Einstein,
> ma di.. Chi!? Ora non mi viene in mente:)
Non ricordo se Brioschi, Bianchi, Dini, Cremona, Klein,
Betti, Battaglini usavano sempre scrivere esplicitamente la somma,
in particolare i manoscritti di Bianchi e di Dini mi
sembra di ricordare che fossero scritti usando le somme, con piu'
sicurezza su Dini che su Bianchi, Brioschi che usava "covarianza" ed
invarianza in tempi non sospetti per le trasformazioni algebriche
mi pare usasse sempre le sommatorie, lo stesso mi pare di
ricordare del libro di Riemann pubblicato da Boringhieri,
poi rimangono da esaminare Gauss e Christoffel, se anche
loro risultassero usare le sommatorie a quel punto direi
che gli inventori piu' probabili sono due: la coppia romagnolo
veneta formata da Ricci Curbastro e Levi Civita. Un insospettabile
che potrebbe aver fatto risparmio di sommatorie potrebbe pero'
essere Eulero, e poi non trascurei di controllare Legendre,
Lagrange, e lo stesso Viete.
Quindi le fonti di Viete: matematici di Bisanzio, ed i post
alessandrini orientali da Al kwaritzmi. Poi non so se
i libri attribuiti a Diofanto con l'uso misto di parole
e simboli abbiano mai affrontato la problematica dell'esprimere
in forma abbreviata una somma, in rima forse.
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Received on Sat Aug 07 2004 - 21:38:00 CEST