Il 07 Lug 2004, 21:08, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> Paolo Pani
> > ...
> Non ci sarebbe il problema se SO(3) fosse privo di rappresentazioni
> cosi' fatte, ma invece le possiede, e la ragione e' che si tratta di un
> gruppo *non semplicemente connesso*.
> Si dimostra in generale che le rappr. proiettive di un gruppo non
> sempl. connesso sono tutte e sole le vere rappresentazioni di un altro
> gruppo, detto "ricoprimento universale" del primo. Per SO(3) il ric.
> univ. e' appunto SU(2).
> Ecco come nasce la necessita' di considerare le rappr. di SU(2).
>
> Dimenticavo: un gruppo e il suo ric. univ. sono _localmente isomorfi_,
> quindi hanno la stessa algebra di Lie. Ne segue che se lavori con i
> "generatori" e le loro rel. di comutazione, automaticamente ottieni le
> rappr. del ric. univ.: e' appunto quello che succede nel caso del
> momento angolare, e da qui nasce (matematicamente) lo spin, ossia la
> possibilita' di un nuovo grado di liberta', e di corrispondenti
> osservabili, non esprimibili in termini delle q e p.
>
> Mi fermo qui, sperando di non essere stato troppo astruso ;-)
Mi permetto solo una correzione a questa e-mail che non avevo
considerato con l'attenzione e la cultura dovute. Generalmente
quando lavori con le relazioni di commutazione ed i generatori
ottieni quella che si chiama rappresentazione aggiunta. La
rappresentazione aggiunta e' generalmente distinta dalla
rappresentazione fondamentale che e' la rappresentazione di
dimensione minima. Nel caso del gruppo SU(2) la rappresentazione
fondamentale ed aggiunta sono la medesima rappresentazione.
A questo punto pero' emergono alcune domande: la rappresentazione
fondamentale e la rappresentazione del ricoprimento universale sono
sempre la medesima rappresentazione? Mi pare che tu accennassi tempo
addietro ad un teorema, che stava sul Pontryagin che dice qualcosa come:
"per un gruppo compatto la rappresentazione del ricoprimento universale di
un gruppo di algebra assegnata e' la rappresentazione di dimensione minima"
Da questo seguirebbe che perche' SU(N) e' sempre semplicemente connesso
e compatto e' gruppo fondamentale della propria algebra ed ha dimensione N.
Mentre siccome i suoi generatori sono in numero di N(N-1) risulta N = N(N-1)
sse N=2 o N=0. E' corretto questo?
Infine consideriamo il caso del gruppo unitario U(1). Questo gruppo e'
compatto,
pero' non e' semplicemente connesso. Quale ne e' la rappresentazione del
ricoprimento universale? Mi viene da pensare R+: corretto? Che pero'
diversamente che nel caso di SO(3) ha la stessa dimensionalita' del
gruppo. Infine il gruppo U(1) che non ha topologia banale, e' l'unica
altra rappresentazione irriducibile associata con il generatore delle
traslazioni unidimensionale? Se si a cosa e' dovuta questa circostanza?
Ultima riflessione che voglio proporre: quale e' la ragione dell'assenza
di costanti del moto associate a simmetrie discrete in meccanica classica?
Quello che mi viene da pensare istintivamente e' che in meccanica classica
manca una componente periodica intrinseca allo schema dinamico che sia
sullo stesso piano "numerico" mi spiego meglio in seguito.
La scelta di utilizzare i commutatori in luogo delle parentesi di Poisson,
insieme con le equazioni di Hamilton, conduce naturalmente alla
rappresentazione della mappa q(t) = exp(i p t) q(0) entro la meccanica
quantistica. Quello che mi piacerebbe comprendere e' come e se la
costruzione di Poisson nasconde questa dualita', la mia impressione e' che
dovrebbe essere possibile costruire una interpretazione non standard
della meccanica classica, in cui le quantita' conservate dovute alle
simmetrie discrete riemergono su un piano cosiddetto shadow.
Ovvero sono invarianti infinitesimi in senso stretto. Diversamente
nella meccanica quantistica, per cosi' dire, queste quantita' conservate
acquistano spessore. Quello che d'istinto mi viene da pensare e' che debba
esistere una formulazione unificata delle meccanica classica e quantistica
in cui la differenza fra i due schemi riposa nel fatto che una misura prende
valori numerici arcbimedei in un caso (quantistico) e non archimedei
nell'altro
(classico). Questo comporta nel caso quantistico la possibilita' di una
amalgamazione logica fra due piani che rimangono distinti nel caso classico.
Tutta una ...volata?
Per il momento non saprei esprimere meglio questo argomento.
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> Elio Fabri
> Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sun Aug 08 2004 - 20:11:44 CEST