Il 21 Lug 2004, 12:20, epsiromenos_at_yahoo.it (gianfrancois) ha scritto:
> ciao a tutti,
>
> Devo capire bene cosa accade ad un campo elettromagnetico classico e
> quantistico!
>
> Ma un dubbio mi assilla...
>
> Se formulo covariantemente l'elettromagnetismo (definendo il
> quadri-vettore potenziale A, la quadri-corrente j, etc...), rimanendo
> nell'ambito "classico", matematicamente mi sorgono dei dubbi.
Anche a me.
> Considerando note le sorgenti (cambia qualcosa e come se le prendo uguale
> a zero = campo libero?)
Se le sorgenti sono nulle ottieni infinite soluzioni che puoi aggiungere
a quelle non omogenee. Come nel caso di equazioni differenziali
ordinarie, ma qui sono infiniti i gradi di liberta' (nello spazio fisico, se
invece fai analisi di Fourier i gradi di liberta' diventano per ogni k un
numero finito, come giustamente dici poi).
, dalle equazioni di Maxwell ottengo due equazioni
> d'onda, una per il potenziale scalare elettrostatico ed una per il
> potenziale vettore magnetico, che unifico nella formula ("covariante a
> vista"):
>
> d(nu)F(munu)=j(mu)
>
>
> Inizialmente ho quattro gradi di libert� (le componenti del
> quadri-vettore).
Se definisci A,m la derivata parziale di A rispetto ad x_m
ottieni
quadratello A ^mu - d(mu) quadridiv A = J^mu.
per le distribuzioni in termini di k (ovvero per le trasformate di Fourier
delle distribuzioni che
risolvono l'equazione) trovi le equazioni:
(g^mu,nu k^2 - i k^mu k^nu) A_nu = J^mu
> So dalla teoria dei sistemi (Rouch�-Capelli!) che per risolvere il
> problema esattamente ho bisogno di quattro equazioni.
Hai quattro equazioni, ma se sommi una soluzione dell'omogenea
hai ancora una soluzione. Inoltre se sommi una soluzione di
k^nu A^mu = k^mu A^nu hai proprio lo stesso campo elettromagnetico.
Le soluzioni di quest'ultima equazione determinano la classe di invarianza
di gauge. Nell'elettrodinamica classica si esclude a priori che la scelta di
gauge
possa contenere della fisica (nella qed a volte questa assunzione e' tanto
scomoda
che si preferisce modificare la lagrangiana con termini che dipendono dalla
gauge, pero' un passo per volta). Se escludiamo che la scelta di gauge
contenga
della fisica allora possiamo dimostrare che possiamo scegliere una gauge
per la quale k^mu A_mu = 0. In particolare la gauge di Coulomb nella quale
div A=0 (con A vettore) e d_0 A_0 =0 ovvero la gauge piu' utile nelle
situazioni
in cui le cariche sono quasi ferme in un riferimento assegnato, e' un caso
particolare
di gauge di Lorentz. Pero' la gauge di Coulomb consta di due vincoli e
quindi porta
a due gradi di liberta'.
> Esprimo (tramite integrale di Fourier) la pi� generale soluzione del
> problema nella base formata dai vettori di polarizzazione
> (scalare-temporale (1), trasversale al moto (2), longitudinale(1)).
>
> Ma contemporaneamente so che i gradi di libert� effettivi sono di meno (ad
> esempio due, quelli trasversi, nel caso libero).
Io non mi esprimerei in questi termini: direi piuttosto che dalla qed
classica sappiamo
che se vogliamo imporre il vincolo causale dobbiamo imporre un vincolo fra
le componenti
di Fourier del campo relative a valori opposti della frequenza (ovvero, si
dice, dobbiamo scegliere
ad hoc che non esistono potenziali anticipati). E che questo comporta di
restringere
la classe di possibili soluzioni. Questo e' un vincolo fisico, non un
vincolo di gauge
per intendersi. Questo vincolo si impone piu' facilmente in gauge di Lorentz
perche' basta scegliere 1/(k^2+i eps) la scelta di fare questa
regolarizzazione anziche'
un'altra ha delle conseguenze fisiche precise e corrisponde ad una
condizione
vincolare fra la soluzione omogenea e la soluzione non omogenea.
In QED questo comporta conseguenze fisiche piuttosto utili come una
simmetria fra il
ruolo dei positroni e degli elettroni nell'accoppiamento elettromagnetico.
Che a me
personalmente ricorda la possibilita' di formulare l'elettromagnetismo con
un parametro
arbitrario di rapporto fra le cariche magnetiche e le cariche elettriche.
> Domanda: quali vincoli ho imposto? (Esempio campo libero)
>
> Altra domanda: cosa succede nel caso "classico" quando ottengo due gradi
> di libert� solo imponendo la gauge di Coulomb (divA=0, con A tri-vettore)?
> Non erano quattri i gradi di libert�? Meno una equazione scalare... non fa
> tre?!?! Qual � l'altro parametro libero, se c'�?! Oppure, come l'ho
> eliminato?
e' che la parte di potenziale e' indipendente dal tempo, hai dei potenziali
istantanei,
come al tempo di Coulomb si riteneva. Questa scelta di gauge non e'
covariante,
ma se uno sceglie la soluzione di Coulomb per il campo nel riferimento di
una particella
carica compie una scelta fisica oltre che di gauge: ovvero vieta di fatto
quelle parti di campo
anticipato che ha vietato con la scelta di potenziali di Lienard - Wiechart
ritardati.
> ....................
>
> Va bene, mi fermo perch� si potrebbe sconfinare. La conversazione � in
> fieri... da questi dubbi ne sorgono altri nell'ambito della teoria
> quantistica (gauge di Lorenz, Gupta-Bleuler bla bla bla...) Povero me!
Purtroppo ad oggi non so molto della gauge di Gupta - Bleuler.
> Ringrazio in anticipo chi volesse rispondere a queste mal poste
> questioni... tentando di farmi comprendere una cosa di cui mi sfugge la
> semplicit�, infatti tutti i libri la liquidano troppo velocemente...
> secondo me.
>
> Va b�...
>
> CIAO
>
>
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Ciao.
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Received on Thu Jul 22 2004 - 18:11:08 CEST